Seja (
) um espaço vetorial real e
subconjunto satisfazendo:
(i)
sempre que
.
(ii)
sempre que
e
.
Mostre que (
) é um espaço vetorial real.
(i)
(ii)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
Dados:
-
é um espaço vetorial real. -
é um subconjunto que satisfaz: - Se
então . (fecho por soma) - Se
e então . (fecho por multiplicação escalar)
- Se
Pedido:
- Mostrar que
, com as mesmas operações herdadas de , é um espaço vetorial real.
Observação importante (para manter o foco): aqui precisamos verificar todas as propriedades de espaço vetorial para elementos de
. As hipóteses já dão fecho por soma e por escalar; falta garantir a existência do vetor nulo em
, dos inversos aditivos em
e checar que as demais propriedades (associatividade, comutatividade, distributividades, etc.) continuam válidas quando restringimos a
.
Passo 2
Tratar primeiro do caso trivial: e se
(conjunto vazio)?
- As hipóteses (i) e (ii) são fórmulas do tipo “para todo … , …”, então são verdadeiras vacuamente se
. Contudo, um espaço vetorial exige que exista um elemento (o vetor nulo). Como não contém nenhum elemento, não pode ser um espaço vetorial. Portanto, para que seja um espaço vetorial é necessário que .
Assim, a prova seguinte assume
. Se no seu enunciado original o autor não deixou explícito que
é não-vazio, então normalmente interpreta-se que se pretende um subespaço não-vazio; neste problema vamos tomar
e provar que então
herda todas as propriedades necessárias.
Passo 3
Mostrar que o vetor nulo de
pertence a
.
-
Como
, escolha . -
Pela hipótese (ii), para o escalar
temos . -
Em todo espaço vetorial
vale a identidade (o vetor nulo de ). Vou provar essa identidade rapidamente: Prova deem : onde usei a distributividade escalar em. Somando ao lado esquerdo o inverso aditivo de (que existe em ), obtemos Portantoé exatamente o vetor nulo de . -
Conclusão:
. Assim contém o elemento neutro aditivo.
Passo 4
Mostrar que todo
tem inverso aditivo em
.
- Tome
. Pela hipótese (ii), com o escalar , temos . - Em
vale . Mostrei antes que . - Logo
é o inverso aditivo de e pertence a . - Conclusão:
é fechado também por inversos aditivos.
Passo 5
Relembrar e usar o fecho já dado.
- Hipótese (i) já garante que se
então : ou seja, é fechado por soma. - Hipótese (ii) garante que se
e então : ou seja, é fechado por multiplicação escalar. - Já demonstrámos que
e que cada tem inverso aditivo em .
Passo 6
Verificar que as demais propriedades de espaço vetorial se mantêm em
(são hereditárias de
).
Vou listar as propriedades e explicar por que valem para
:
-
Associatividade da adição:
- Em
temos para quaisquer . Se , a igualdade continua verdadeira (é a mesma operação). Além disso, ambos os lados pertencem a porque somas de elementos de permanecem em pelo fecho.
- Em
-
Comutatividade da adição:
- Em
vale . Para a igualdade é a mesma e os dois lados estão em .
- Em
-
Existência do elemento neutro aditivo:
- Demonstrado no Passo 3:
.
- Demonstrado no Passo 3:
-
Existência do inverso aditivo:
- Demonstrado no Passo 4: para cada
, e é o inverso.
- Demonstrado no Passo 4: para cada
-
Distributividade da multiplicação escalar com respeito à adição de vetores:
- Em
vale para todos e . Se então (fecho) e ambos e estão em (fecho escalar); a igualdade é a mesma que em , portanto vale em .
- Em
-
Distributividade com respeito à soma de escalares:
- Em
vale . Para e os termos estão todos em por fecho, e a igualdade é herdada de .
- Em
-
Associatividade entre escalares:
- Em
vale . Para os dois lados estão em e a igualdade permanece válida.
- Em
-
Elemento unitário escalar:
- Em
vale . Para isto também vale e os dois lados estão em .
- Em
Em todas essas propriedades usamos o fato de que as identidades são iguais às de
e que o fecho (i) e (ii) garante que os elementos que aparecem nas expressões permanecem em
. Portanto todas as axiomas de espaço vetorial são satisfeitas por
com as operações herdadas.
Passo 7
Síntese final do argumento.
- Mostramos que
(assumido; se o enunciado não assegura, destacar que o caso vazio falha por não conter o zero). - Demonstrámos que
e que cada tem inverso aditivo em . - As demais propriedades formais (associatividade, comutatividade da adição; distributividades; propriedades escalares) são simplesmente as mesmas que valem em
e continuam verdadeiras quando restritas a ; o fecho (i) e (ii) garante que os resultados das operações permanecem em . - Conclusão: todas as axiomas de espaço vetorial real são satisfeitas por
.