Seja ( V,+, \cdot ) um espaço vetorial real e U \subset V subconjunto satisfazendo:
(i) u_{1}+u_{2} \in U sempre que u_{1}, u_{2} \in U.
(ii) \alpha \cdot u \in U sempre que \alpha \in \mathbb{R} e u \in U.
Mostre que ( U,+, \cdot ) é um espaço vetorial real.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
Dados:
  • (V,+,\cdot) é um espaço vetorial real.
  • U\subset V é um subconjunto que satisfaz:
    1. Se u_{1},u_{2}\in U então u_{1}+u_{2}\in U. (fecho por soma)
    2. Se \alpha\in\mathbb{R} e u\in U então \alpha\cdot u\in U. (fecho por multiplicação escalar)
Pedido:
  • Mostrar que (U,+,\cdot), com as mesmas operações herdadas de V, é um espaço vetorial real.
Observação importante (para manter o foco): aqui precisamos verificar todas as propriedades de espaço vetorial para elementos de U. As hipóteses já dão fecho por soma e por escalar; falta garantir a existência do vetor nulo em U, dos inversos aditivos em U e checar que as demais propriedades (associatividade, comutatividade, distributividades, etc.) continuam válidas quando restringimos a U.

Passo 2

Tratar primeiro do caso trivial: e se U=\varnothing (conjunto vazio)?
  • As hipóteses (i) e (ii) são fórmulas do tipo “para todo … , …”, então são verdadeiras vacuamente se U=\varnothing. Contudo, um espaço vetorial exige que exista um elemento (o vetor nulo). Como \varnothing não contém nenhum elemento, \varnothing não pode ser um espaço vetorial. Portanto, para que (U,+,\cdot) seja um espaço vetorial é necessário que U\neq\varnothing.
Assim, a prova seguinte assume U\neq\varnothing. Se no seu enunciado original o autor não deixou explícito que U é não-vazio, então normalmente interpreta-se que se pretende um subespaço não-vazio; neste problema vamos tomar U\neq\varnothing e provar que então U herda todas as propriedades necessárias.

Passo 3

Mostrar que o vetor nulo de V pertence a U.
  • Como U\neq\varnothing, escolha u\in U.
  • Pela hipótese (ii), para o escalar \alpha=0 temos 0\cdot u\in U.
  • Em todo espaço vetorial V vale a identidade 0\cdot u=0_V (o vetor nulo de V). Vou provar essa identidade rapidamente:
    Prova de 0\cdot u=0_V em V:
    0\cdot u = (0+0)\cdot u = 0\cdot u + 0\cdot u,
    onde usei a distributividade escalar em V. Somando ao lado esquerdo o inverso aditivo de 0\cdot u (que existe em V), obtemos
    0_V = 0\cdot u.
    Portanto 0\cdot u é exatamente o vetor nulo de V.
  • Conclusão: 0_V\in U. Assim U contém o elemento neutro aditivo.

Passo 4

Mostrar que todo u\in U tem inverso aditivo em U.
  • Tome u\in U. Pela hipótese (ii), com o escalar -1\in\mathbb{R}, temos (-1)\cdot u\in U.
  • Em V vale u + ((-1)\cdot u) = (1+(-1))\cdot u = 0\cdot u = 0_V. Mostrei antes que 0\cdot u=0_V.
  • Logo (-1)\cdot u é o inverso aditivo de u e pertence a U.
  • Conclusão: U é fechado também por inversos aditivos.

Passo 5

Relembrar e usar o fecho já dado.
  • Hipótese (i) já garante que se u_{1},u_{2}\in U então u_{1}+u_{2}\in U: ou seja, U é fechado por soma.
  • Hipótese (ii) garante que se \alpha\in\mathbb{R} e u\in U então \alpha\cdot u\in U: ou seja, U é fechado por multiplicação escalar.
  • Já demonstrámos que 0_V\in U e que cada u\in U tem inverso aditivo em U.

Passo 6

Verificar que as demais propriedades de espaço vetorial se mantêm em U (são hereditárias de V).
Vou listar as propriedades e explicar por que valem para U:
  1. Associatividade da adição:
    • Em V temos (u+v)+w = u+(v+w) para quaisquer u,v,w\in V. Se u,v,w\in U\subset V, a igualdade continua verdadeira (é a mesma operação). Além disso, ambos os lados pertencem a U porque somas de elementos de U permanecem em U pelo fecho.
  2. Comutatividade da adição:
    • Em V vale u+v=v+u. Para u,v\in U a igualdade é a mesma e os dois lados estão em U.
  3. Existência do elemento neutro aditivo:
    • Demonstrado no Passo 3: 0_V\in U.
  4. Existência do inverso aditivo:
    • Demonstrado no Passo 4: para cada u\in U, (-1)\cdot u\in U e é o inverso.
  5. Distributividade da multiplicação escalar com respeito à adição de vetores:
    • Em V vale \alpha\cdot(u+v)=\alpha\cdot u+\alpha\cdot v para todos \alpha\in\mathbb{R} e u,v\in V. Se u,v\in U então u+v\in U (fecho) e ambos \alpha\cdot u e \alpha\cdot v estão em U (fecho escalar); a igualdade é a mesma que em V, portanto vale em U.
  6. Distributividade com respeito à soma de escalares:
    • Em V vale (\alpha+\beta)\cdot u = \alpha\cdot u + \beta\cdot u. Para u\in U e \alpha,\beta\in\mathbb{R} os termos estão todos em U por fecho, e a igualdade é herdada de V.
  7. Associatividade entre escalares:
    • Em V vale \alpha\cdot(\beta\cdot u) = (\alpha\beta)\cdot u. Para u\in U os dois lados estão em U e a igualdade permanece válida.
  8. Elemento unitário escalar:
    • Em V vale 1\cdot u = u. Para u\in U isto também vale e os dois lados estão em U.
Em todas essas propriedades usamos o fato de que as identidades são iguais às de V e que o fecho (i) e (ii) garante que os elementos que aparecem nas expressões permanecem em U. Portanto todas as axiomas de espaço vetorial são satisfeitas por U com as operações herdadas.

Passo 7

Síntese final do argumento.
  • Mostramos que U\neq\varnothing (assumido; se o enunciado não assegura, destacar que o caso vazio falha por não conter o zero).
  • Demonstrámos que 0_V\in U e que cada u\in U tem inverso aditivo em U.
  • As demais propriedades formais (associatividade, comutatividade da adição; distributividades; propriedades escalares) são simplesmente as mesmas que valem em V e continuam verdadeiras quando restritas a U; o fecho (i) e (ii) garante que os resultados das operações permanecem em U.
  • Conclusão: todas as axiomas de espaço vetorial real são satisfeitas por (U,+,\cdot).

Resposta

(U,+,\cdot) é um espaço vetorial real.

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