Considere definido em \mathbb{R}^{3} o produto interno usual. Aplique o processo de ortogonalização de GramSchmidt às seguintes bases:
\{(1,0,2),(-1,1,1),(1,-3,0)\}.

Passo 1

O enunciado pede: aplicar o processo de ortogonalização de Gram–Schmidt à base formada pelos vetores
v_1=(1,0,2),\quad v_2=(-1,1,1),\quad v_3=(1,-3,0)
no espaço \mathbb{R}^3 com o produto interno usual.
Informações dadas: os três vetores acima; objetivo: obter uma base ortogonal (vetores mutuamente ortogonais) gerando o mesmo subespaço.

Passo 2

Vou explicar o método que vamos usar (Gram–Schmidt) de forma clara e direta.
  • Produto interno usual: para dois vetores x=(x_1,x_2,x_3) e y=(y_1,y_2,y_3) temos
\langle x,y\rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3.
  • Norma ao quadrado de u é \langle u,u\rangle.
  • Projeção de um vetor v sobre um vetor u (com u\neq 0) é o vetor
\operatorname{proj}_u(v) = \frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
  • O algoritmo de Gram–Schmidt dado vetores v_1,v_2,v_3 gera vetores ortogonais u_1,u_2,u_3 por
u_1 = v_1,
u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_2),
u_3 = v_3 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_3) - \operatorname{proj}_{u_2}(v_3).
Aqui \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno usual definido acima. Vou aplicar essas fórmulas passo a passo, mostrando os cálculos explícitos.

Passo 3

Calcular u_1.
Temos por definição
u_1 = v_1 = (1,0,2).
Calculo da norma ao quadrado de u_1 (vai aparecer nas projeções):
\langle u_1,u_1\rangle = 1^2 + 0^2 + 2^2 = 1 + 0 + 4 = 5.

Passo 4

Calcular u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_2).
Primeiro a projeção: calculo do coeficiente \langle v_2,u_1\rangle:
\langle v_2,u_1\rangle = (-1)\cdot 1 + 1\cdot 0 + 1\cdot 2 = -1 + 0 + 2 = 1.
Logo
\operatorname{proj}_{u_1}(v_2) = \frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\,u_1 = \frac{1}{5}\,(1,0,2) = \left(\frac{1}{5},0,\frac{2}{5}\right).
Agora
u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_2) = (-1,1,1) - \left(\frac{1}{5},0,\frac{2}{5}\right) = \left(-1-\frac{1}{5},\,1-0,\,1-\frac{2}{5}\right).
Fazendo as contas:
-1-\frac{1}{5} = -\frac{6}{5},\qquad 1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}.
Portanto
u_2 = \left(-\frac{6}{5},\,1,\,\frac{3}{5}\right).
Observação útil: podemos multiplicar u_2 por qualquer escalar não nulo e manter a ortogonalidade; para evitar frações podemos usar a versão escalada 5u_2 = (-6,5,3), que é proporcional a u_2 e também ortogonal a u_1.

Passo 5

Calcular u_3 = v_3 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_3) - \operatorname{proj}_{u_2}(v_3).
Primeiro \operatorname{proj}_{u_1}(v_3). Calculo \langle v_3,u_1\rangle:
\langle v_3,u_1\rangle = 1\cdot 1 + (-3)\cdot 0 + 0\cdot 2 = 1.
Portanto
\operatorname{proj}_{u_1}(v_3) = \frac{1}{5}\,(1,0,2) = \left(\frac{1}{5},0,\frac{2}{5}\right).
Agora \operatorname{proj}_{u_2}(v_3). Primeiro compute \langle v_3,u_2\rangle usando u_2 = \left(-\frac{6}{5},1,\frac{3}{5}\right):
\langle v_3,u_2\rangle = 1\cdot\left(-\frac{6}{5}\right) + (-3)\cdot 1 + 0\cdot\frac{3}{5} = -\frac{6}{5} - 3 = -\frac{6}{5} - \frac{15}{5} = -\frac{21}{5}.
Calcule \langle u_2,u_2\rangle:
\langle u_2,u_2\rangle = \left(-\frac{6}{5}\right)^2 + 1^2 + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{36}{25} + 1 + \frac{9}{25} = \frac{36+25+9}{25} = \frac{70}{25} = \frac{14}{5}.
O coeficiente da projeção é
\frac{\langle v_3,u_2\rangle}{\langle u_2,u_2\rangle} = \frac{-\frac{21}{5}}{\frac{14}{5}} = -\frac{21}{14} = -\frac{3}{2}.
Logo
\operatorname{proj}_{u_2}(v_3) = -\frac{3}{2}\,u_2 = -\frac{3}{2}\left(-\frac{6}{5},1,\frac{3}{5}\right) = \left(\frac{9}{5},-\frac{3}{2},-\frac{9}{10}\right).
Agora somo as projeções e subtraio de v_3:
\operatorname{proj}_{u_1}(v_3)+\operatorname{proj}_{u_2}(v_3) = \left(\frac{1}{5},0,\frac{2}{5}\right) + \left(\frac{9}{5},-\frac{3}{2},-\frac{9}{10}\right) = \left(2,-\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right),
pois \frac{1}{5}+\frac{9}{5}=2 e \frac{2}{5}-\frac{9}{10}=\frac{4-9}{10}=-\frac{1}{2}.
Portanto
u_3 = v_3 - \big(\operatorname{proj}_{u_1}(v_3)+\operatorname{proj}_{u_2}(v_3)\big) = (1,-3,0) - \left(2,-\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right) = \left(-1,\,-\frac{3}{2},\,\frac{1}{2}\right).
Novamente, para evitar frações podemos tomar 2u_3 = (-2,-3,1), que é proporcional a u_3 e mantém a ortogonalidade com u_1 e u_2.

Passo 6

Verificação rápida da ortogonalidade (mostrar que os produtos internos são zero):
  • \langle u_1,u_2\rangle = \langle (1,0,2),(-\tfrac{6}{5},1,\tfrac{3}{5})\rangle = -\tfrac{6}{5} + 0 + \tfrac{6}{5} = 0.
  • \langle u_1,u_3\rangle = \langle (1,0,2),(-1,-\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2})\rangle = -1 + 0 + 1 = 0.
  • \langle u_2,u_3\rangle = 0 (pode verificar fazendo o produto com qualquer das versões proporcionais; por exemplo com (-6,5,3) e (-2,-3,1): (-6)(-2)+5(-3)+3(1)=12-15+3=0).
Isso confirma que obtivemos três vetores mutuamente ortogonais que geram o mesmo subespaço da base original.

Resposta

\{(1,0,2),\,(-6,5,3),\,(-2,-3,1)\}

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