Considere definido em
o produto interno usual. Aplique o processo de ortogonalização de GramSchmidt às seguintes bases:
.
Passo 1
O enunciado pede: aplicar o processo de ortogonalização de Gram–Schmidt à base formada pelos vetores
no espaço
com o produto interno usual.
Informações dadas: os três vetores acima; objetivo: obter uma base ortogonal (vetores mutuamente ortogonais) gerando o mesmo subespaço.
Informações dadas: os três vetores acima; objetivo: obter uma base ortogonal (vetores mutuamente ortogonais) gerando o mesmo subespaço.
Passo 2
Vou explicar o método que vamos usar (Gram–Schmidt) de forma clara e direta.
- Produto interno usual: para dois vetores
e temos
- Norma ao quadrado de
é . - Projeção de um vetor
sobre um vetor (com ) é o vetor
- O algoritmo de Gram–Schmidt dado vetores
gera vetores ortogonais por
Aqui
é o produto interno usual definido acima. Vou aplicar essas fórmulas passo a passo, mostrando os cálculos explícitos.
Passo 3
Calcular
.
Temos por definição
Calculo da norma ao quadrado de
(vai aparecer nas projeções):
Passo 4
Calcular
.
Primeiro a projeção: calculo do coeficiente
:
Logo
Agora
Fazendo as contas:
Portanto
Observação útil: podemos multiplicar
por qualquer escalar não nulo e manter a ortogonalidade; para evitar frações podemos usar a versão escalada
, que é proporcional a
e também ortogonal a
.
Passo 5
Calcular
.
Primeiro
. Calculo
:
Portanto
Agora
. Primeiro compute
usando
:
Calcule
:
O coeficiente da projeção é
Logo
Agora somo as projeções e subtraio de
:
pois
e
.
Portanto
Novamente, para evitar frações podemos tomar
, que é proporcional a
e mantém a ortogonalidade com
e
.
Passo 6
Verificação rápida da ortogonalidade (mostrar que os produtos internos são zero):
-
-
-
(pode verificar fazendo o produto com qualquer das versões proporcionais; por exemplo com e : ).
Isso confirma que obtivemos três vetores mutuamente ortogonais que geram o mesmo subespaço da base original.