1- Considere o conjunto X. Resolva o que se pede em cada item.
a) Determine os pontos interiores, os pontos aderentes e os pontos de acumulação de X.
b) O conjunto é aberto ou fechado? Justifique.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos dá o conjunto $ X = \left{ x \in \mathbb{R} : \sqrt{3x^{2} + x} < x^{2} \right} $. Nosso objetivo é, na parte a), determinar os pontos interiores, aderentes e de acumulação de $ X $. Na parte b), precisamos verificar se $ X $ é um conjunto aberto ou fechado. Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos de análise real, como inequações, propriedades de funções e noções de topologia em X = x in R : raiz3x^2 + x < x^2 , especialmente sobre conjuntos abertos e fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a inequação que define o conjunto $ X $:
X
Para resolver essa inequação, vamos analisar os valores de $ x $ para os quais essa desigualdade é verdadeira.

Passo 3

Antes de resolver a inequação, precisamos garantir que a expressão dentro da raiz quadrada seja não negativa, pois a raiz quadrada de um número negativo não está definida nos números reais. Portanto, temos:
3x^2 + x >= 0
Vamos resolver essa inequação:
x(3x + 1) >= 0
Encontramos as raízes da equação $ 3x^{2} + x = 0 $ que são $ x = 0 $ e $ x = -\frac{1}{3} $. Agora, analisamos os intervalos determinados por essas raízes para verificar onde a inequação é satisfeita.

Passo 4

Fazendo a análise de sinais, observamos que a inequação $ x(3x + 1) \geq 0 $ é satisfeita nos intervalos:
x(3x + 1) >= 0
Ou seja, para $ x \leq -\frac{1}{3} $ e $ x \geq 0 $, a expressão dentro da raiz é não negativa, tornando a inequação válida para esses valores de $ x $.

Passo 5

Agora, retornamos à inequação original:
raiz3x^2 + x < x^2
Sabemos que $ x^{2} $ é sempre não negativo. Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado, lembrando que isso preserva a desigualdade já que ambos os lados são positivos:
x^2
Rearranjando os termos, temos:
3x^2 + x < x^4

Passo 6

Vamos resolver a inequação:
x^4 - 3x^2 - x > 0
Primeiro, tentamos fatorar o polinômio. Observamos que:
x(x^3 - 3x - 1) > 0
Embora o termo $ x^{3} - 3x - 1 $ não seja facilmente fatorável, podemos analisar a função $ f(x) = x^{4} - 3x^{2} - x $ para determinar onde ela é positiva. Após análise ou utilizando métodos numéricos, encontramos que a inequação é satisfeita para:
x^3 - 3x - 1

Passo 7

Considerando as duas condições que obtivemos:
  1. $ 3x^{2} + x \geq 0 $ para $ x \leq -\frac{1}{3} $ e $ x \geq 0 $
  2. $ x < -1 $ e $ x > 1 $ pela inequação $ x^{4} - 3x^{2} - x > 0 $
Combinando essas condições, concluímos que o conjunto $ X $ é:
3x^2 + x >= 0

Passo 8

Agora, vamos determinar os pontos interiores, os pontos aderentes e os pontos de acumulação de $ X $:
  • Pontos interiores: Em X , os pontos interiores de $ X $ são todos os $ x $ que pertencem a $ X $ onde existe um intervalo aberto ao redor de $ x $ completamente contido em $ X $. Como $ X $ é a união de R e X , todos os pontos desses intervalos são pontos interiores.
  • Pontos aderentes: Incluem todos os pontos de $ X $ mais seus pontos de fronteira. Portanto, os pontos aderentes são todos os $ x $ em $ (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) $.
  • Pontos de acumulação: São os pontos onde, em qualquer intervalo ao redor deles, existem infinitos pontos de $ X $. Logo, os pontos de acumulação também são todos os $ x $ em $ (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) $.

Passo 9

Respondendo à parte b):
Um conjunto é aberto se todos os seus pontos são pontos interiores. Observando que $ X = (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) $ é a união de intervalos abertos, concluímos que $ X $ é um conjunto aberto.
Um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de aderência. No caso de $ X $, os pontos de fronteira $ x = -1 $ e $ x = 1 $ não estão incluídos no conjunto, portanto $ X $ não é fechado.

Resposta

a) Pontos interiores: Todos os $ x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) $.
Pontos aderentes: Todos os $ x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) $.
Pontos de acumulação: Todos os $ x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) $.
b) O conjunto $ X $ é aberto, pois é a união de intervalos abertos e todos os seus pontos são pontos interiores. Não é fechado, já que não contém seus pontos de fronteira $ x = -1 $ e $ x = 1 $.

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