Fazendo uso do TFC, calcule a derivada da função
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função $ f(x) = \int_{e{-3x}}{\sqrt{x}} \ln t , dt $ usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Basicamente, vamos precisar entender como derivar uma função que é definida por uma integral com limites que dependem de $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que estamos trabalhando. Temos uma integral definida onde:
- O limite inferior é $ a(x) = e^{-3x} $
- O limite superior é $ b(x) = \sqrt{x} $
- A função dentro da integral é $ \ln t $
Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se $ f(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} g(t) , dt $, então a derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $ é:
Vamos aplicar isso ao nosso caso.
Passo 3
Aplicando o TFC à nossa função:
Substituindo $ a(x) $ e $ b(x) $:
Agora, vamos calcular as derivadas de $ b(x) $ e $ a(x) $:
Substituindo de volta na expressão:
Passo 4
Vamos simplificar as expressões logarítmicas. Sabemos que $ \ln(\sqrt{x}) = \frac{1}{2} \ln x $ e $ \ln(e^{-3x}) = -3x $. Substituindo essas simplificações:
Resposta
A derivada da função é: