Fazendo uso do TFC, calcule a derivada da função f(x)=integrale^-3 x^raizx ln t d t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função $ f(x) = \int_{e{-3x}}{\sqrt{x}} \ln t , dt $ usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Basicamente, vamos precisar entender como derivar uma função que é definida por uma integral com limites que dependem de $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que estamos trabalhando. Temos uma integral definida onde:
  • O limite inferior é $ a(x) = e^{-3x} $
  • O limite superior é $ b(x) = \sqrt{x} $
  • A função dentro da integral é $ \ln t $
Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se $ f(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} g(t) , dt $, então a derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $ é:
a(x) = e^-3x
Vamos aplicar isso ao nosso caso.

Passo 3

Aplicando o TFC à nossa função:
f'(x) = ln(b(x)) cdot b'(x) - ln(a(x)) cdot a'(x)
Substituindo $ a(x) $ e $ b(x) $:
a(x)
Agora, vamos calcular as derivadas de $ b(x) $ e $ a(x) $:
b(x)
f'(x) = ln(raizx) cdot ddx(raizx) - ln(e^-3x) cdot ddx(e^-3x)
Substituindo de volta na expressão:
b(x)

Passo 4

Vamos simplificar as expressões logarítmicas. Sabemos que $ \ln(\sqrt{x}) = \frac{1}{2} \ln x $ e $ \ln(e^{-3x}) = -3x $. Substituindo essas simplificações:
ln(raizx) = 12 ln x
ln(e^-3x) = -3x

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = ln x4,raizx - 9x,e^-3x

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