Considere o conjunto
Mostre que o conjunto
não tem conteúdo nulo em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um conjunto
que consiste em todos os pares
onde
e
são números racionais entre 0 e 1. A questão pede para mostrar que esse conjunto não tem conteúdo nulo em
. Vamos usar conceitos de medida na matemática para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “conteúdo nulo”. Em termos de medida, um conjunto tem conteúdo nulo (ou medida zero) se, de certa forma, ele “não ocupa espaço” no espaço em que está inserido. Por exemplo, um ponto isolado na reta numérica tem medida zero porque ocupa um espaço insignificante.
Passo 3
O conjunto
é definido por todos os pares
onde ambos
e
são racionais entre 0 e 1. Sabemos que os números racionais (
) são contáveis, ou seja, podemos listá-los como uma sequência infinita, mas sem intervalo.
Passo 4
Como
é composto por pares de números racionais, ele também é contável. Em
, conjuntos contáveis como
têm medida zero. Isso porque, embora haja infinitos pontos, eles estão “distribuídos” de forma que não ocupam espaço na superfície do plano.
Passo 5
Para formalizar, podemos cobrir cada ponto
com um quadrado pequeno de área
. Como
é contável, somamos essas áreas e, ao deixar
tender a zero, a soma total também tende a zero. Portanto, a medida de
é zero.
Passo 6
Então, na verdade, o conjunto
tem conteúdo nulo em
, ou seja, sua medida é zero.
Resposta
O conjunto
tem conteúdo nulo em
, ou seja, sua medida é zero.