Considere o conjunto
A=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1, x, y in Q
Mostre que o conjunto A não tem conteúdo nulo em R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um conjunto A que consiste em todos os pares (x, y) onde x e y são números racionais entre 0 e 1. A questão pede para mostrar que esse conjunto não tem conteúdo nulo em R^2 . Vamos usar conceitos de medida na matemática para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “conteúdo nulo”. Em termos de medida, um conjunto tem conteúdo nulo (ou medida zero) se, de certa forma, ele “não ocupa espaço” no espaço em que está inserido. Por exemplo, um ponto isolado na reta numérica tem medida zero porque ocupa um espaço insignificante.

Passo 3

O conjunto A é definido por todos os pares (x, y) onde ambos x e y são racionais entre 0 e 1. Sabemos que os números racionais ( Q ) são contáveis, ou seja, podemos listá-los como uma sequência infinita, mas sem intervalo.

Passo 4

Como A é composto por pares de números racionais, ele também é contável. Em R^2 , conjuntos contáveis como A têm medida zero. Isso porque, embora haja infinitos pontos, eles estão “distribuídos” de forma que não ocupam espaço na superfície do plano.

Passo 5

Para formalizar, podemos cobrir cada ponto (x, y) in A com um quadrado pequeno de área epsilon . Como A é contável, somamos essas áreas e, ao deixar epsilon tender a zero, a soma total também tende a zero. Portanto, a medida de A é zero.

Passo 6

Então, na verdade, o conjunto A tem conteúdo nulo em R^2 , ou seja, sua medida é zero.

Resposta

O conjunto A tem conteúdo nulo em R^2 , ou seja, sua medida é zero.

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