Considere o conjuntoS =\{1,2,3,8,9\}. Seja M oconjunto de todos os números de três algarismos distintos que podem ser formados com os elementos de S.
a) Determine o número de elementos de M .
b) Escolhendo-se, ao acaso, um elemento de M, qual a probabilidade de o elemento escolhido ser um múltiplo de 2 ?

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S=\{1,2,3,8,9\}. Seja M o conjunto de todos os números de três algarismos distintos que podem ser formados com os elementos de S.
Perguntas:
  1. (a) Determinar o número de elementos de M.
  2. (b) Se escolhermos, ao acaso, um elemento de M, qual a probabilidade de o elemento escolhido ser múltiplo de 2?
    Informações relevantes do enunciado: os algarismos devem vir exclusivamente de S; em cada número de três algarismos os três algarismos são distintos; não há o dígito zero em S (portanto qualquer escolha para o primeiro dígito gera um número de três algarismos válido).

Passo 2

Contagem total de números de três algarismos com dígitos distintos extraídos de S.
Raciocínio passo a passo (princípio multiplicativo): para formar um número de três algarismos escolhemos primeiro o dígito das centenas, depois o das dezenas, depois o das unidades. Como os dígitos devem ser distintos e S tem 5 elementos, temos:
  • opções para o dígito das centenas: 5,
  • depois opções para o dígito das dezenas: 4 (um já foi usado),
  • depois opções para o dígito das unidades: 3 (dois já foram usados).
    Portanto o número total de números é
5\cdot 4\cdot 3.
Calculemos:
5\cdot 4\cdot 3 = 60.
Logo o conjunto M tem 60 elementos.

Passo 3

Explicação didática sobre permutações usada acima: quando a ordem importa e queremos escolher k elementos distintos de um conjunto de n elementos, o número de arranjos (permutações sem repetição) é dado por
P(n,k)=n\cdot (n-1)\cdot\ldots\cdot (n-k+1).
Alternativamente,
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},
onde n! (lê-se “ n fatorial”) é o produto 1\cdot 2\cdot 3\cdots n. No nosso caso n=5 e k=3, então P(5,3)=5\cdot4\cdot3=60. Exemplo rápido: escolher e ordenar 2 letras distintas de \{A,B,C\} P(3,2)=3\cdot2=6 arranjos: AB,BA,AC,CA,BC,CB.

Passo 4

Contagem dos números múltiplos de 2 (parte favorável). Para um número ser múltiplo de 2 o dígito das unidades deve ser par. Dos elementos de S os dígitos pares são \{2,8\} — peguei esses dados do próprio conjunto S.
Procedimento:
  • escolha do dígito das unidades (par): 2 escolhas ( 2 ou 8);
  • após fixar o dígito das unidades, restam 4 dígitos disponíveis em S para preencher centenas e dezenas, sem repetição;
  • número de maneiras de escolher e ordenar centenas e dezenas a partir desses 4 é
P(4,2)=4\cdot 3=12.
Portanto, para cada escolha do dígito das unidades temos 12 números; com 2 escolhas de unidade o total favorável é
2\cdot 12 = 24.

Passo 5

Cálculo da probabilidade. A probabilidade pedida é a razão entre casos favoráveis e casos possíveis:
\text{Probabilidade}=\frac{\text{nº de números pares}}{\text{nº total de números}}=\frac{24}{60}.ºúºú
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 12:
\frac{24}{60}=\frac{2}{5}.
Em decimal isso é 0{,}4. Dica prática para prova: sempre que for pedir “múltiplo de 2” conte escolhas do último dígito primeiro — isso costuma simplificar bastante.

Resposta

(a) 60
(b) \dfrac{2}{5}

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