Considere o conjuntoS
. Seja M oconjunto de todos os números de três algarismos distintos que podem ser formados com os elementos de
.
a) Determine o número de elementos de M .
b) Escolhendo-se, ao acaso, um elemento de M, qual a probabilidade de o elemento escolhido ser um múltiplo de 2 ?
a) Determine o número de elementos de M .
b) Escolhendo-se, ao acaso, um elemento de M, qual a probabilidade de o elemento escolhido ser um múltiplo de 2 ?
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
. Seja
o conjunto de todos os números de três algarismos distintos que podem ser formados com os elementos de
.
Perguntas:
Perguntas:
- (a) Determinar o número de elementos de
. - (b) Se escolhermos, ao acaso, um elemento de
, qual a probabilidade de o elemento escolhido ser múltiplo de 2?
Informações relevantes do enunciado: os algarismos devem vir exclusivamente de; em cada número de três algarismos os três algarismos são distintos; não há o dígito zero em (portanto qualquer escolha para o primeiro dígito gera um número de três algarismos válido).
Passo 2
Contagem total de números de três algarismos com dígitos distintos extraídos de
.
Raciocínio passo a passo (princípio multiplicativo): para formar um número de três algarismos escolhemos primeiro o dígito das centenas, depois o das dezenas, depois o das unidades. Como os dígitos devem ser distintos e tem
elementos, temos:
Raciocínio passo a passo (princípio multiplicativo): para formar um número de três algarismos escolhemos primeiro o dígito das centenas, depois o das dezenas, depois o das unidades. Como os dígitos devem ser distintos e
- opções para o dígito das centenas:
, - depois opções para o dígito das dezenas:
(um já foi usado), - depois opções para o dígito das unidades:
(dois já foram usados).
Portanto o número total de números é
Calculemos:
Logo o conjunto
tem
elementos.
Passo 3
Explicação didática sobre permutações usada acima: quando a ordem importa e queremos escolher
elementos distintos de um conjunto de
elementos, o número de arranjos (permutações sem repetição) é dado por
Alternativamente,
onde
(lê-se “
fatorial”) é o produto
. No nosso caso
e
, então
. Exemplo rápido: escolher e ordenar 2 letras distintas de
dá
arranjos:
.
Passo 4
Contagem dos números múltiplos de 2 (parte favorável). Para um número ser múltiplo de
o dígito das unidades deve ser par. Dos elementos de
os dígitos pares são
— peguei esses dados do próprio conjunto
.
Procedimento:
Procedimento:
- escolha do dígito das unidades (par):
escolhas ( ou ); - após fixar o dígito das unidades, restam
dígitos disponíveis em para preencher centenas e dezenas, sem repetição; - número de maneiras de escolher e ordenar centenas e dezenas a partir desses
é
Portanto, para cada escolha do dígito das unidades temos
números; com
escolhas de unidade o total favorável é
Passo 5
Cálculo da probabilidade. A probabilidade pedida é a razão entre casos favoráveis e casos possíveis:
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
Em decimal isso é
. Dica prática para prova: sempre que for pedir “múltiplo de 2” conte escolhas do último dígito primeiro — isso costuma simplificar bastante.
Resposta
(a)
(b)
(b)