Numa enquete, foram entrevistadas 80 pessoas sobre os meios de transporte que utilizavam para ir ao trabalho e/ou à escola. Dos entrevistados, 42 responderam ônibus, 28 responderam carro e 30 responderam moto. Doze utilizavam-se de ônibus e carro, 14 de carro e moto, e 18 de ônibus e moto.Cinco utilizavam-se dos três: carro, ônibus e moto. Qual é a probabilidade de que uma dessas pessoas, selecionadas ao acaso, utilize:
a) Somente ônibus?
b) Somente carro?
c) Carro e ônibus, mas não moto?
d)Nenhum dos três veículos?
e) Apenas um desses veículos?

Passo 1

O enunciado informa que foram entrevistadas \,80\, pessoas sobre meios de transporte. Das contagens dadas temos:
\;|B|=42\; (ônibus), \;|C|=28\; (carro), \;|M|=30\; (moto).
As interseções dadas são \;|B\cap C|=12\;, \;|C\cap M|=14\;, \;|B\cap M|=18\; e a interseção tripla \;|B\cap C\cap M|=5\;.
As perguntas são:
a) Qual a probabilidade de que uma pessoa utilize somente ônibus?
b) Qual a probabilidade de que uma pessoa utilize somente carro?
c) Qual a probabilidade de que uma pessoa utilize carro e ônibus, mas não moto?
d) Qual a probabilidade de que uma pessoa utilize nenhum dos três veículos?
e) Qual a probabilidade de que uma pessoa utilize apenas um desses veículos?

Passo 2

Vou trabalhar com os conjuntos (eventos) \;B, \;C e \;M para ônibus, carro e moto respectivamente. Uma forma bem prática de visualizar é um diagrama de Venn com três círculos sobrepostos: cada região do diagrama corresponde a um grupo de entrevistados (só ônibus, só carro, só moto, pares sem o terceiro, triplo, etc.).
A estratégia é encontrar o número de pessoas em cada região do diagrama (por exemplo, quantas só usam ônibus, quantas usam ônibus e carro mas não moto, etc.) e depois dividir pelo total \,80\, para obter a probabilidade. Para isso usaremos a ideia básica do princípio da inclusão-exclusão (vou aplicar-a explicitamente em cada passo necessário).

Passo 3

Cálculo do número que usa somente ônibus. A razão formal é: se você pega todos que usam ônibus |B| e subtrai os que também usam carro e os que também usam moto, você subtrai duas vezes os que usam os três — então precisa somar de volta a interseção tripla. Assim a fórmula é
\text{Só ônibus} = |B| - |B\cap C| - |B\cap M| + |B\cap C\cap M|.óô
Substituindo os números dados:
\text{Só ônibus} = 42 - 12 - 18 + 5 = 17.óô
Explicando em palavras: dos 42 que usam ônibus, 12 também usam carro e 18 também usam moto; quem usa os três foi contado duas vezes nessas subtrações, por isso somamos 5 de volta. Resultado: 17 pessoas usam somente ônibus.

Passo 4

Cálculo do número que usa somente carro. Mesma ideia:
\text{Só carro} = |C| - |B\cap C| - |C\cap M| + |B\cap C\cap M|.ó
Substituindo:
\text{Só carro} = 28 - 12 - 14 + 5 = 7.ó
Ou seja, 7 pessoas usam somente carro.

Passo 5

Cálculo do número que usa somente moto (mesmo procedimento, útil para a pergunta (e)):
\text{Só moto} = |M| - |B\cap M| - |C\cap M| + |B\cap C\cap M|.ó
Substituindo:
\text{Só moto} = 30 - 18 - 14 + 5 = 3.ó
Logo 3 pessoas usam somente moto.

Passo 6

Cálculo do número que usa carro e ônibus, mas não moto. Isso é a região do par \;B\cap C\; excluindo quem usa os três. Então:
\text{Carro e ônibus, sem moto} = |B\cap C| - |B\cap C\cap M|.ô
Substituindo:
\text{Carro e ônibus, sem moto} = 12 - 5 = 7.ô
Portanto 7 pessoas usam carro e ônibus, mas não moto.

Passo 7

Cálculo de quantas usam pelo menos um dos três (união) e, então, quantas não usam nenhum. Pelo princípio da inclusão-exclusão:
|B\cup C\cup M| = |B| + |C| + |M| - |B\cap C| - |B\cap M| - |C\cap M| + |B\cap C\cap M|.
Substituindo os valores:
|B\cup C\cup M| = 42 + 28 + 30 - 12 - 18 - 14 + 5 = 61.
Ou seja, 61 pessoas usam pelo menos um dos três veículos. Como havia 80 entrevistados, o número que não usa nenhum dos três é
\text{Nenhum} = 80 - 61 = 19.

Passo 8

Cálculo de quantas usam apenas um desses veículos (soma das três regiões “só ônibus”, “só carro”, “só moto”):
\text{Apenas um} = \text{Só ônibus} + \text{Só carro} + \text{Só moto} = 17 + 7 + 3 = 27.óôóó

Passo 9

Transformando os contagens em probabilidades (probabilidade = número favorável dividido por total \,80\,). Vou apresentar cada resposta como fração e também o valor decimal aproximado (opcional para facilitar a intuição).
a) Somente ônibus: \dfrac{17}{80}\approx 0,2125.
b) Somente carro: \dfrac{7}{80}=0,0875.
c) Carro e ônibus, mas não moto: \dfrac{7}{80}=0,0875.
d) Nenhum dos três veículos: \dfrac{19}{80}=0,2375.
e) Apenas um desses veículos: \dfrac{27}{80}=0,3375.

Resposta

a) \dfrac{17}{80}
b) \dfrac{7}{80}
c) \dfrac{7}{80}
d) \dfrac{19}{80}
e) \dfrac{27}{80}

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