Numa enquete, foram entrevistadas 80 pessoas sobre os meios de transporte que utilizavam para ir ao trabalho e/ou à escola. Dos entrevistados, 42 responderam ônibus, 28 responderam carro e 30 responderam moto. Doze utilizavam-se de ônibus e carro, 14 de carro e moto, e 18 de ônibus e moto.Cinco utilizavam-se dos três: carro, ônibus e moto. Qual é a probabilidade de que uma dessas pessoas, selecionadas ao acaso, utilize:
a) Somente ônibus?
b) Somente carro?
c) Carro e ônibus, mas não moto?
d)Nenhum dos três veículos?
e) Apenas um desses veículos?
a) Somente ônibus?
b) Somente carro?
c) Carro e ônibus, mas não moto?
d)Nenhum dos três veículos?
e) Apenas um desses veículos?
Passo 1
O enunciado informa que foram entrevistadas
pessoas sobre meios de transporte. Das contagens dadas temos:
(ônibus),
(carro),
(moto).
As interseções dadas são ,
,
e a interseção tripla
.
As perguntas são:
a) Qual a probabilidade de que uma pessoa utilize somente ônibus?
b) Qual a probabilidade de que uma pessoa utilize somente carro?
c) Qual a probabilidade de que uma pessoa utilize carro e ônibus, mas não moto?
d) Qual a probabilidade de que uma pessoa utilize nenhum dos três veículos?
e) Qual a probabilidade de que uma pessoa utilize apenas um desses veículos?
As interseções dadas são
As perguntas são:
a) Qual a probabilidade de que uma pessoa utilize somente ônibus?
b) Qual a probabilidade de que uma pessoa utilize somente carro?
c) Qual a probabilidade de que uma pessoa utilize carro e ônibus, mas não moto?
d) Qual a probabilidade de que uma pessoa utilize nenhum dos três veículos?
e) Qual a probabilidade de que uma pessoa utilize apenas um desses veículos?
Passo 2
Vou trabalhar com os conjuntos (eventos)
,
e
para ônibus, carro e moto respectivamente. Uma forma bem prática de visualizar é um diagrama de Venn com três círculos sobrepostos: cada região do diagrama corresponde a um grupo de entrevistados (só ônibus, só carro, só moto, pares sem o terceiro, triplo, etc.).
A estratégia é encontrar o número de pessoas em cada região do diagrama (por exemplo, quantas só usam ônibus, quantas usam ônibus e carro mas não moto, etc.) e depois dividir pelo total para obter a probabilidade. Para isso usaremos a ideia básica do princípio da inclusão-exclusão (vou aplicar-a explicitamente em cada passo necessário).
A estratégia é encontrar o número de pessoas em cada região do diagrama (por exemplo, quantas só usam ônibus, quantas usam ônibus e carro mas não moto, etc.) e depois dividir pelo total
Passo 3
Cálculo do número que usa somente ônibus. A razão formal é: se você pega todos que usam ônibus
e subtrai os que também usam carro e os que também usam moto, você subtrai duas vezes os que usam os três — então precisa somar de volta a interseção tripla. Assim a fórmula é
Substituindo os números dados:
Explicando em palavras: dos
que usam ônibus,
também usam carro e
também usam moto; quem usa os três foi contado duas vezes nessas subtrações, por isso somamos
de volta. Resultado:
pessoas usam somente ônibus.
Passo 4
Cálculo do número que usa somente carro. Mesma ideia:
Substituindo:
Ou seja,
pessoas usam somente carro.
Passo 5
Cálculo do número que usa somente moto (mesmo procedimento, útil para a pergunta (e)):
Substituindo:
Logo
pessoas usam somente moto.
Passo 6
Cálculo do número que usa carro e ônibus, mas não moto. Isso é a região do par
excluindo quem usa os três. Então:
Substituindo:
Portanto
pessoas usam carro e ônibus, mas não moto.
Passo 7
Cálculo de quantas usam pelo menos um dos três (união) e, então, quantas não usam nenhum. Pelo princípio da inclusão-exclusão:
Substituindo os valores:
Ou seja,
pessoas usam pelo menos um dos três veículos. Como havia
entrevistados, o número que não usa nenhum dos três é
Passo 8
Cálculo de quantas usam apenas um desses veículos (soma das três regiões “só ônibus”, “só carro”, “só moto”):
Passo 9
Transformando os contagens em probabilidades (probabilidade = número favorável dividido por total
). Vou apresentar cada resposta como fração e também o valor decimal aproximado (opcional para facilitar a intuição).
a) Somente ônibus:
.
b) Somente carro: .
c) Carro e ônibus, mas não moto: .
d) Nenhum dos três veículos: .
e) Apenas um desses veículos: .
b) Somente carro:
c) Carro e ônibus, mas não moto:
d) Nenhum dos três veículos:
e) Apenas um desses veículos:
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)