Considere os conjuntos:
A=\left\{x \in \mathbb{R} ; \frac{x-1}{x^{2}} \geq 0\right\} \quad B=\left\{x \in \mathbb{R} ; \ln \frac{1}{x} \geq 1\right\}
Para cada um dos conjuntos A e B, indique o conjunto das cotas superiores, o conjunto das cotas inferiores, e, caso existam, em \mathbb{R}, o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo.

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos e pede, para cada um, o conjunto das cotas superiores, o conjunto das cotas inferiores e, caso existam em \mathbb{R}, o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo. Os dados são:
  • A=\left\{x\in\mathbb{R} \; ; \; \dfrac{x-1}{x^{2}}\geq 0\right\}.
  • B=\left\{x\in\mathbb{R} \; ; \; \ln\dfrac{1}{x}\geq 1\right\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado (para usar na resolução):
  • A expressão em A não está definida em x=0 (denominador x^{2}=0 então x=0 deve ser excluído).
  • A função logarítmica \ln(\,\cdot\,) exige argumento estritamente positivo, portanto em B só faz sentido considerar x>0.
  • O que se pede para cada conjunto: (i) conjunto das cotas superiores (números reais que majoram todo o conjunto), (ii) conjunto das cotas inferiores (números reais que minoram todo o conjunto), (iii) supremo quando existir em \mathbb{R}, (iv) ínfimo quando existir em \mathbb{R}, (v) máximo (maior elemento do conjunto, se existir) e (vi) mínimo (menor elemento do conjunto, se existir).

Passo 2

Antes de resolver, um rápido lembrete de definições (útil para identificar as cotas e os extremos):
  • Um número U\in\mathbb{R} é uma cota superior de um conjunto S\subset\mathbb{R} se, para todo x\in S, vale x\leq U. O conjunto de todas as cotas superiores será denotado aqui por \mathcal{U}(S).
  • Um número L\in\mathbb{R} é uma cota inferior de S se, para todo x\in S, vale L\leq x. O conjunto de todas as cotas inferiores será denotado por \mathcal{L}(S).
  • O supremo \sup S é a menor das cotas superiores (se existir em \mathbb{R}). Pode coincidir com um elemento de S (neste caso é também o máximo), ou não.
  • O ínfimo \inf S é a maior das cotas inferiores (se existir em \mathbb{R}). Pode coincidir com um elemento de S (neste caso é também o mínimo), ou não.
  • O máximo de S é o maior elemento de S (existe se e somente se \sup S\in S). O mínimo é o menor elemento de S (existe se e somente se \inf S\in S).
Exemplo rápido e intuitivo: se S=[1,\infty) então \mathcal{U}(S)=\varnothing (nenhum real majora todos os elementos), \mathcal{L}(S)=(-\infty,1], \inf S=1 e 1 é mínimo, não existe supremo em \mathbb{R} (supremum é +\infty fora de \mathbb{R}).

Passo 3

Resolver a desigualdade que define A:
\frac{x-1}{x^{2}}\geq 0.
Observação: x=0 não pertence ao domínio da expressão (denominador nulo), então só consideramos x\neq 0. Para x\neq 0 temos x^{2}>0. Como x^{2} é positivo, ao multiplicar a desigualdade por x^{2} (quantidade positiva) a direção da desigualdade não muda. Assim:
\frac{x-1}{x^{2}}\geq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x-1\geq 0 \quad\text{para }x\neq 0.
Isto dá x\geq 1. Como x=0 está excluído, não há outra solução. Portanto
A=\{x\in\mathbb{R}:x\geq 1\}=[1,\infty).
Verificação rápida por pontos: para x=2 a fração é (2-1)/4=1/4\ge0 (ok); para x=1 é 0 (ok); para x=-1 a fração é (-2)/1=-2<0 (não pertence); x=0 indefinido (excluído). Tudo consistente.

Passo 4

Determinar cotas e extremos de A=[1,\infty):
  • Conjunto das cotas superiores \mathcal{U}(A): um real U é cota superior se todo x\in[1,\infty) satisfaz x\le U. Não existe nenhum número real U que seja maior ou igual a todos os elementos de [1,\infty) porque o conjunto é ilimitado superiormente. Portanto \mathcal{U}(A)=\varnothing (conjunto vazio, se considerarmos apenas números reais).
  • Conjunto das cotas inferiores \mathcal{L}(A): L é cota inferior se L\le x para todo x\ge1. Isso equivale a pedir L\le 1. Então
\mathcal{L}(A)=(-\infty,1].
  • Ínfimo: \inf A é a maior cota inferior; entre os L\le1 a maior é 1. Logo \inf A=1.
  • Mínimo: como 1\in A, o ínfimo é atingido, portanto \min A=1.
  • Supremo: não existe em \mathbb{R} (o supremo seria +\infty, que não é número real). Vou anotar que não existe supremo em \mathbb{R}.
  • Máximo: não existe, pois não há maior elemento em [1,\infty).

Passo 5

Resolver a desigualdade que define B:
\ln\frac{1}{x}\geq 1.
Domínio: devemos ter \dfrac{1}{x}>0, ou seja x>0. Usar a identidade \ln\frac{1}{x}=-\ln x. Assim:
-\ln x \geq 1 \quad\Longleftrightarrow\quad \ln x \leq -1.
A função logaritmo natural é estritamente crescente, então aplicar a exponenciação (função crescente e^{(\cdot)}) preserva a desigualdade:
\ln x \leq -1 \quad\Longleftrightarrow\quad x \leq e^{-1}.
Combinando com o domínio x>0 obtemos
B=\{x\in\mathbb{R}:0<x\leq e^{-1}\}=(0,e^{-1}].
Verificação por pontos: para x=e^{-1} tem-se \ln(1/x)=\ln e^{1}=1 (igual), para x=e^{-2} tem-se \ln(1/x)=\ln e^{2}=2\ge1 (pertence). Valores muito próximos de 0 (positivos) também satisfazem a desigualdade; x\le0 não é permitido (argumento do log não positivo).

Passo 6

Determinar cotas e extremos de B=(0,e^{-1}]:
  • Conjunto das cotas superiores \mathcal{U}(B): um real U é cota superior se todo x\in(0,e^{-1}] satisfaz x\le U. Isto equivale a U\ge e^{-1}. Logo
\mathcal{U}(B)=[e^{-1},\infty).
  • Conjunto das cotas inferiores \mathcal{L}(B): um real L é cota inferior se L\le x para todo x\in(0,e^{-1}]. Como existem elementos de B arbitrariamente pequenos positivos (tendem a 0 mas nunca chegam a 0), L deve satisfazer L\le 0. Assim
\mathcal{L}(B)=(-\infty,0].
  • Ínfimo: a maior cota inferior é 0, portanto \inf B=0.
  • Mínimo: 0\notin B, logo não existe mínimo.
  • Supremo: a menor cota superior é e^{-1}, portanto \sup B=e^{-1}.
  • Máximo: como e^{-1}\in B, temos \max B=e^{-1}.

Resposta

A: conjunto das cotas superiores: \varnothing
A: conjunto das cotas inferiores: (-\infty,1]
A: supremo (em \mathbb{R}): não existe (é +\infty)
A: ínfimo: 1
A: máximo: não existe
A: mínimo: 1
B: conjunto das cotas superiores: [e^{-1},\infty)
B: conjunto das cotas inferiores: (-\infty,0]
B: supremo: e^{-1}
B: ínfimo: 0
B: máximo: e^{-1}
B: mínimo: não existe

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