Considere os conjuntos:
Para cada um dos conjuntos
e
, indique o conjunto das cotas superiores, o conjunto das cotas inferiores, e, caso existam, em
, o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo.
Passo 1
O enunciado dá dois conjuntos e pede, para cada um, o conjunto das cotas superiores, o conjunto das cotas inferiores e, caso existam em
, o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo. Os dados são:
Informações relevantes extraídas do enunciado (para usar na resolução):
- A expressão em
não está definida em (denominador então deve ser excluído). - A função logarítmica
exige argumento estritamente positivo, portanto em só faz sentido considerar . - O que se pede para cada conjunto: (i) conjunto das cotas superiores (números reais que majoram todo o conjunto), (ii) conjunto das cotas inferiores (números reais que minoram todo o conjunto), (iii) supremo quando existir em
, (iv) ínfimo quando existir em , (v) máximo (maior elemento do conjunto, se existir) e (vi) mínimo (menor elemento do conjunto, se existir).
Passo 2
Antes de resolver, um rápido lembrete de definições (útil para identificar as cotas e os extremos):
- Um número
é uma cota superior de um conjunto se, para todo , vale . O conjunto de todas as cotas superiores será denotado aqui por . - Um número
é uma cota inferior de se, para todo , vale . O conjunto de todas as cotas inferiores será denotado por . - O supremo
é a menor das cotas superiores (se existir em ). Pode coincidir com um elemento de (neste caso é também o máximo), ou não. - O ínfimo
é a maior das cotas inferiores (se existir em ). Pode coincidir com um elemento de (neste caso é também o mínimo), ou não. - O máximo de
é o maior elemento de (existe se e somente se ). O mínimo é o menor elemento de (existe se e somente se ).
Exemplo rápido e intuitivo: se
então
(nenhum real majora todos os elementos),
,
e
é mínimo, não existe supremo em
(supremum é
fora de
).
Passo 3
Resolver a desigualdade que define
:
Observação:
não pertence ao domínio da expressão (denominador nulo), então só consideramos
. Para
temos
. Como
é positivo, ao multiplicar a desigualdade por
(quantidade positiva) a direção da desigualdade não muda. Assim:
Isto dá
. Como
está excluído, não há outra solução. Portanto
Verificação rápida por pontos: para
a fração é
(ok); para
é
(ok); para
a fração é
(não pertence);
indefinido (excluído). Tudo consistente.
Passo 4
Determinar cotas e extremos de
:
- Conjunto das cotas superiores
: um real é cota superior se todo satisfaz . Não existe nenhum número real que seja maior ou igual a todos os elementos de porque o conjunto é ilimitado superiormente. Portanto (conjunto vazio, se considerarmos apenas números reais). - Conjunto das cotas inferiores
: é cota inferior se para todo . Isso equivale a pedir . Então
- Ínfimo:
é a maior cota inferior; entre os a maior é . Logo . - Mínimo: como
, o ínfimo é atingido, portanto . - Supremo: não existe em
(o supremo seria , que não é número real). Vou anotar que não existe supremo em . - Máximo: não existe, pois não há maior elemento em
.
Passo 5
Resolver a desigualdade que define
:
Domínio: devemos ter
, ou seja
. Usar a identidade
. Assim:
A função logaritmo natural é estritamente crescente, então aplicar a exponenciação (função crescente
) preserva a desigualdade:
Combinando com o domínio
obtemos
Verificação por pontos: para
tem-se
(igual), para
tem-se
(pertence). Valores muito próximos de 0 (positivos) também satisfazem a desigualdade;
não é permitido (argumento do log não positivo).
Passo 6
Determinar cotas e extremos de
:
- Conjunto das cotas superiores
: um real é cota superior se todo satisfaz . Isto equivale a . Logo
- Conjunto das cotas inferiores
: um real é cota inferior se para todo . Como existem elementos de arbitrariamente pequenos positivos (tendem a mas nunca chegam a ), deve satisfazer . Assim
- Ínfimo: a maior cota inferior é
, portanto . - Mínimo:
, logo não existe mínimo. - Supremo: a menor cota superior é
, portanto . - Máximo: como
, temos .
Resposta
A: conjunto das cotas superiores:
A: conjunto das cotas inferiores:
A: supremo (em ): não existe (é
)
A: ínfimo:
A: máximo: não existe
A: mínimo:
A: conjunto das cotas inferiores:
A: supremo (em
A: ínfimo:
A: máximo: não existe
A: mínimo:
B: conjunto das cotas superiores:
B: conjunto das cotas inferiores:
B: supremo:
B: ínfimo:
B: máximo:
B: mínimo: não existe
B: conjunto das cotas inferiores:
B: supremo:
B: ínfimo:
B: máximo:
B: mínimo: não existe