Discuta em função dos parâmetros os seguintes sistemas
(a) \left\{\begin{array}{l}x+4 y+3 z=10 \\\\ 2 x+7 y-2 z=10\end{array}\right..

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. O sistema fornecido é
\begin{cases} x+4y+3z=10,\\[4pt] 2x+7y-2z=10. \end{cases}
Informações dadas:
  • As incógnitas são x, y, z.
  • Há duas equações lineares e três incógnitas.
    O que o enunciado pede:
  • “Discutir em função dos parâmetros” — ou seja, descrever o conjunto de soluções do sistema, preferivelmente em forma paramétrica (mostrar se é impossível, se tem única solução, ou infinitas soluções, e obter a expressão geral das soluções).]

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicação didática curta e amigável).
  • Como são equações lineares, duas abordagens naturais são: substituição direta e eliminação (ou redução de linhas via matriz aumentada). Vou usar ambas: começo por substituição para obter rapidamente uma forma paramétrica; depois faço a redução da matriz aumentada para falar de posto (rank) e de liberdade de parâmetros — isso explica por que o resultado é o que é.
  • Conceito importante que vou usar: o posto (rank) da matriz de coeficientes é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes; se o posto da matriz de coeficientes for igual ao posto da matriz aumentada, o sistema é compatível; o número de graus de liberdade (variáveis livres) é n-\text{rank}, onde n é o número de incógnitas.

Passo 3

Resolução por substituição (passo a passo).
  • Isolar x na primeira equação: da equação \;x+4y+3z=10\; temos
x=10-4y-3z.
  • Substituir esse x na segunda equação \;2x+7y-2z=10\;:
2(10-4y-3z)+7y-2z=10.
Agora desenvolver e simplificar:
20-8y-6z+7y-2z=10.
20-(8y-7y)-(6z+2z)=10 \quad\Rightarrow\quad 20-y-8z=10.
Isolando y:
-y-8z=-10 \quad\Rightarrow\quad y+8z=10 \quad\Rightarrow\quad y=10-8z.
  • Voltar ao x encontrado anteriormente e substituir y:
x=10-4y-3z=10-4(10-8z)-3z.
Calcular:
x=10-40+32z-3z=-30+29z.
  • Conclusão desta etapa: podemos tomar z como parâmetro livre. Chamando z=t com t\in\mathbb{R}, obtemos
x=-30+29t,\qquad y=10-8t,\qquad z=t.

Passo 4

Colocar a solução em forma vetorial e interpretar algebraicamente.
  • Escrevendo em forma vetorial:
\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-30\\[4pt]10\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}29\\[4pt]-8\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
  • Interpretação: há infinitas soluções, descritas por uma reta em \mathbb{R}^3 passando por \begin{pmatrix}-30,10,0\end{pmatrix} e direção \begin{pmatrix}29,-8,1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação via matriz aumentada e cálculo do posto (para justificar compatibilidade e número de parâmetros).
  • Montar a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & 3 & 10\\[4pt] 2 & 7 & -2 & 10 \end{array}\right].
  • Fazer eliminação por linhas para encontrar o posto:
    R2 \leftarrow R2 - 2·R1 dá
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & 3 & 10\\[4pt] 0 & -1 & -8 & -10 \end{array}\right].
Multiplicando R2 por -1:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & 3 & 10\\[4pt] 0 & 1 & 8 & 10 \end{array}\right].
R1 \leftarrow R1 - 4·R2 dá
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -29 & -30\\[4pt] 0 & 1 & 8 & 10 \end{array}\right],
que é uma forma escalonada reduzida suficiente para ver que as duas linhas são linearmente independentes.
  • Assim o posto da matriz de coeficientes é \operatorname{rank}(A)=2. O posto da matriz aumentada também é 2, portanto o sistema é compatível.
  • Como o número de incógnitas é n=3, o número de variáveis livres é n-\operatorname{rank}(A)=3-2=1. Isso confirma que há uma família unidimensional de soluções (um parâmetro), exatamente o parâmetro t que usamos.]

Passo 6

Forma homogênea e decomposição particular + solução da homogênea (insight útil para prova).
  • O sistema homogêneo associado A\mathbf{x}=\mathbf{0} tem solução (tomando o RHS zero) obtida com os mesmos passos: tomar z livre e achar
\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}29\\[4pt]-8\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad s\in\mathbb{R}.
  • Uma solução particular do sistema original é obtida escolhendo t=0: \begin{pmatrix}-30,10,0\end{pmatrix}.
  • Portanto solução geral = solução particular + combinação linear da solução homogênea, que já escrevemos antes.]

Passo 7

Exemplos numéricos para intuir (pequeno exercício mental).
  • Se t=0: (x,y,z)=(-30,10,0).
  • Se t=1: (x,y,z)=(-1,2,1).
  • Se t=2: (x,y,z)=(28,-6,2).
    Esses pontos são todos soluções do sistema; mudar t varre a reta de soluções.

Passo 8

Resumo final e observações de prova (dicas rápidas).
  • Em uma prova, ao ver menos equações que incógnitas, pense sempre em variáveis livres e em parametrizar por elas.
  • Use eliminação de Gauss para justificar o posto e o número de graus de liberdade; apresente uma solução particular e a direção da solução homogênea para completar a resposta.
  • Não há valores de parâmetro a variar no enunciado original (os termos constantes são fixos igual a 10); a “discussão em função de parâmetros” aqui corresponde a dar a solução em função de um parâmetro livre t.

Resposta

(x,y,z)=(-30+29t,\;10-8t,\;t),\\ t\in\mathbb{R}

Exercícios relacionados