Há duas equações lineares e três incógnitas.
O que o enunciado pede:
“Discutir em função dos parâmetros” — ou seja, descrever o conjunto de soluções do sistema, preferivelmente em forma paramétrica (mostrar se é impossível, se tem única solução, ou infinitas soluções, e obter a expressão geral das soluções).]
Passo 2
Qual método usar e por quê (explicação didática curta e amigável).
Como são equações lineares, duas abordagens naturais são: substituição direta e eliminação (ou redução de linhas via matriz aumentada). Vou usar ambas: começo por substituição para obter rapidamente uma forma paramétrica; depois faço a redução da matriz aumentada para falar de posto (rank) e de liberdade de parâmetros — isso explica por que o resultado é o que é.
Conceito importante que vou usar: o posto (rank) da matriz de coeficientes é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes; se o posto da matriz de coeficientes for igual ao posto da matriz aumentada, o sistema é compatível; o número de graus de liberdade (variáveis livres) é n-\text{rank}, onde n é o número de incógnitas.
Passo 3
Resolução por substituição (passo a passo).
Isolar x na primeira equação: da equação \;x+4y+3z=10\; temos
x=10-4y-3z.
Substituir esse x na segunda equação \;2x+7y-2z=10\;:
Interpretação: há infinitas soluções, descritas por uma reta em \mathbb{R}^3 passando por \begin{pmatrix}-30,10,0\end{pmatrix} e direção \begin{pmatrix}29,-8,1\end{pmatrix}.]
Passo 5
Verificação via matriz aumentada e cálculo do posto (para justificar compatibilidade e número de parâmetros).
que é uma forma escalonada reduzida suficiente para ver que as duas linhas são linearmente independentes.
Assim o posto da matriz de coeficientes é \operatorname{rank}(A)=2. O posto da matriz aumentada também é 2, portanto o sistema é compatível.
Como o número de incógnitas é n=3, o número de variáveis livres é n-\operatorname{rank}(A)=3-2=1. Isso confirma que há uma família unidimensional de soluções (um parâmetro), exatamente o parâmetro t que usamos.]
Passo 6
Forma homogênea e decomposição particular + solução da homogênea (insight útil para prova).
O sistema homogêneo associado A\mathbf{x}=\mathbf{0} tem solução (tomando o RHS zero) obtida com os mesmos passos: tomar z livre e achar
Uma solução particular do sistema original é obtida escolhendo t=0: \begin{pmatrix}-30,10,0\end{pmatrix}.
Portanto solução geral = solução particular + combinação linear da solução homogênea, que já escrevemos antes.]
Passo 7
Exemplos numéricos para intuir (pequeno exercício mental).
Se t=0: (x,y,z)=(-30,10,0).
Se t=1: (x,y,z)=(-1,2,1).
Se t=2: (x,y,z)=(28,-6,2).
Esses pontos são todos soluções do sistema; mudar t varre a reta de soluções.
Passo 8
Resumo final e observações de prova (dicas rápidas).
Em uma prova, ao ver menos equações que incógnitas, pense sempre em variáveis livres e em parametrizar por elas.
Use eliminação de Gauss para justificar o posto e o número de graus de liberdade; apresente uma solução particular e a direção da solução homogênea para completar a resposta.
Não há valores de parâmetro a variar no enunciado original (os termos constantes são fixos igual a 10); a “discussão em função de parâmetros” aqui corresponde a dar a solução em função de um parâmetro livre t.