Consideremos o espaço vetorial real ( \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}),+,. ). Sejam
U=\left\{p \in \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) ; p(0)=p(1)=0\right\} \text { e } W=\left\{q \in \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) ; q(-1)=0\right\}
Encontre as bases e as dimensões dos espaços vetoriais U, W, U \cap W e U+W do espaço vetorial real ( \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}),+,. )

Passo 1

O enunciado pede para achar bases e dimensões dos subespaços \displaystyle U=\{p\in\mathcal{P}_3(\mathbb{R})\mid p(0)=p(1)=0\}
e \displaystyle W=\{q\in\mathcal{P}_3(\mathbb{R})\mid q(-1)=0\},
além de U\cap W e U+W.
Vamos usar que cada condição do tipo p(\alpha)=0 impõe uma equação linear sobre os coeficientes de \displaystyle p(x)=a x^3 + b x^2 + c x + d.

Passo 2

Para U temos as duas condições: p(0)=d=0 e
p(1)=a+b+c+d=0\implies a+b+c=0.
Daí \;d=0 e \;c=-a-b, logo
p(x) = a\,x^3 + b\,x^2 +(-a-b)\,x = a\,(x^3 - x) \;+\; b\,(x^2 - x).
Isso mostra que \{\,x^3 - x,\;x^2 - x\} é base de U e \dim(U)=2.

Passo 3

Para W a única condição é
q(-1)= -a + b - c + d = 0 \;\Longrightarrow\; d = a - b + c.
Substituindo em q(x)=a x^3 + b x^2 + c x + d, obtemos
q(x) = a\,(x^3+1) \;+\; b\,(x^2-1) \;+\; c\,(x+1).
Portanto \{\,x^3+1,\;x^2-1,\;x+1\} é base de W e \dim(W)=3.

Passo 4

Um polinômio em U\cap W must satisfy p(0)=p(1)=p(-1)=0, ou seja, ter raízes em 0,1,-1. Logo
p(x) = k\,x(x-1)(x+1) = k\,(x^3 - x).
Então \{\,x^3 - x\} é base de U\cap W e \dim(U\cap W)=1.

Passo 5

Pela fórmula de dimensões em soma direta de subespaços:
\dim(U+W) = \dim(U) + \dim(W) - \dim(U\cap W) = 2 + 3 - 1 = 4.
Como \dim\bigl(\mathcal{P}_3(\mathbb{R})\bigr)=4, temos U+W=\mathcal{P}_3(\mathbb{R}).
Uma base natural de U+W é \{\,1,\;x,\;x^2,\;x^3\}.

Resposta

U
Base: \{\,x^3 - x,\;x^2 - x\} \dim(U)=2 W
Base: \{\,x^3+1,\;x^2-1,\;x+1\} \dim(W)=3 U\cap W
Base: \{\,x^3 - x\} \dim(U\cap W)=1 U+W
Base: \{\,1,\;x,\;x^2,\;x^3\} \dim(U+W)=4

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