Consideremos o espaço vetorial real (
. ). Sejam
Encontre as bases e as dimensões dos espaços vetoriais
e
do espaço vetorial real (
. )
Passo 1
O enunciado pede para achar bases e dimensões dos subespaços
e ,
além de e
.
Vamos usar que cada condição do tipo impõe uma equação linear sobre os coeficientes de
.
e
além de
Vamos usar que cada condição do tipo
Passo 2
Para
temos as duas condições:
e
Daí
e
, logo
Isso mostra que
é base de
e
.
Passo 3
Para
a única condição é
Substituindo em
, obtemos
Portanto
é base de
e
.
Passo 4
Um polinômio em
must satisfy
, ou seja, ter raízes em
. Logo
Então
é base de
e
.
Passo 5
Pela fórmula de dimensões em soma direta de subespaços:
Como
, temos
.
Uma base natural de é
.
Uma base natural de
Resposta
U
Base: W
Base:
Base:
Base:
Base:
Base:
Base:
Base: