Considere os conjuntos
Determine as imagens de
e
pelas funções a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para achar as imagens dos conjuntos A e B pela função f(z)=(1+j)z. O conteúdo é multiplicação de números complexos, que geometricamente corresponde a uma rotação de ângulo arg(1+j)=π/4 e um alongamento de fator |1+j|=√2.
Passo 2
O conjunto A é A={z∈ℂ | Re(z)=Im(z)}. Podemos parametrizar z∈A como z=t(1+j), t∈ℝ. Assim
logo f(A)={2jt: t∈ℝ}={w∈ℂ: Re(w)=0}, que é o eixo imaginário.
Passo 3
O conjunto B é B={z∈ℂ: Im(z)≥0 e |z|=1}, isto é, a semicircunferência unitária superior. Escrevendo z=e^{jθ} com θ∈[0,π], temos
Resposta
f(A)={w∈ℂ: Re(w)=0} (eixo imaginário) \ f(B)={w∈ℂ: |w|=√2earg(w)\in[π/4,5π/4]} (semicircunferência de raio √2 de π/4 a 5π/4)