Considere os conjuntos
A=z in C mid Re(z)=Im(z) e B=z in C mid Im(z) >= 0 e |z|=1
Determine as imagens de A e B pelas funções a seguir.
f(z)=(1+j) z

Passo 1

O enunciado pede para achar as imagens dos conjuntos A e B pela função f(z)=(1+j)z. O conteúdo é multiplicação de números complexos, que geometricamente corresponde a uma rotação de ângulo arg(1+j)=π/4 e um alongamento de fator |1+j|=√2.

Passo 2

O conjunto A é A={z∈ℂ | Re(z)=Im(z)}. Podemos parametrizar z∈A como z=t(1+j), t∈ℝ. Assim
f(z)=(1+j)z=(1+j)l(t(1+j)r)=t(1+j)^2=tcdot2j=2jt,
logo f(A)={2jt: t∈ℝ}={w∈ℂ: Re(w)=0}, que é o eixo imaginário.

Passo 3

O conjunto B é B={z∈ℂ: Im(z)≥0 e |z|=1}, isto é, a semicircunferência unitária superior. Escrevendo z=e^{jθ} com θ∈[0,π], temos
f(e^jθ)=(1+j)e^jθ=raiz2,e^j(θ+π/4), onde θ varia de 0 a π. Logo f(B)={w∈ℂ: |w|=√2earg(w)∈[π/4,5π/4]}, isto é, a semicircunferência de raio √2 cujo argumento vai de π/4 até 5π/4.

Resposta

f(A)={w∈ℂ: Re(w)=0} (eixo imaginário) \ f(B)={w∈ℂ: |w|=√2earg(w)\in[π/4,5π/4]} (semicircunferência de raio √2 de π/4 a 5π/4)

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