Considere os conjuntos
e
e as afirmações:
Julgue os itens acima em V ou F. Justifique suas respostas.
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá dois conjuntos
e
e a igualdade entre conjuntos
Pede-se julgar se a afirmação "se
, então
" é verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar a resposta.
Passo 2
Relembrando definições fundamentais (explicando bem devagar, como se estivéssemos juntos fazendo a prova):
- Definição de interseção: para qualquer elemento
,
Isto é, o conjunto
contém exatamente os elementos que pertencem simultaneamente a
e a
.
- Definição de subconjunto: dizemos
quando
Ou seja, todo elemento de
também pertence a
.
Essas duas definições serão usadas de forma elementar (pegando um elemento qualquer e seguindo as implicações).
Passo 3
Prova elementar da afirmação (prova direta):
Seja
um elemento arbitrário tal que
. Queremos mostrar que
(porque isso, para um
arbitrário, dará
).
Como
e sabemos que
, concluímos que
. Agora, aplicando a definição de interseção, de
segue que
e
. Já tínhamos
; o que nos interessa é a outra parte:
.
Portanto, qualquer
que pertença a
também pertence a
. Em notação lógica:
Isto é exatamente a definição de
. Assim a implicação é válida.
Passo 4
Intuição com um exemplo concreto para fixar: tome
e
. Então
e de fato
. O argumento do passo anterior funciona para qualquer
e
, não só para este exemplo.
Também é útil saber (mas não pedido) que a recíproca é verdadeira: se
então
. Isso mostra que as duas propriedades são equivalentes; mas a prova dada já é suficiente para o enunciado.
Passo 5
Resumo final do raciocínio em uma frase: a igualdade
garante que todo elemento de
pertence a
, e portanto a
; assim
. Boa! Vai dar certo na prova — respira fundo e segue.
Resposta
V