Considere os conjuntos X e Y e as afirmações:
Julgue os itens acima em V ou F. Justifique suas respostas.
Se X \cap Y=X, então X \subset Y.

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos X e Y e a igualdade entre conjuntos
X \cap Y = X.
Pede-se julgar se a afirmação "se X \cap Y = X, então X \subset Y" é verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar a resposta.

Passo 2

Relembrando definições fundamentais (explicando bem devagar, como se estivéssemos juntos fazendo a prova):
  • Definição de interseção: para qualquer elemento z,
z \in X\cap Y \iff (z\in X \text{ e } z\in Y).
Isto é, o conjunto X\cap Y contém exatamente os elementos que pertencem simultaneamente a X e a Y.
  • Definição de subconjunto: dizemos X\subset Y quando
\forall z,\; (z\in X \Rightarrow z\in Y).
Ou seja, todo elemento de X também pertence a Y.
Essas duas definições serão usadas de forma elementar (pegando um elemento qualquer e seguindo as implicações).

Passo 3

Prova elementar da afirmação (prova direta):
Seja x um elemento arbitrário tal que x\in X. Queremos mostrar que x\in Y (porque isso, para um x arbitrário, dará \,X\subset Y).
Como x\in X e sabemos que X\cap Y = X, concluímos que x\in X\cap Y. Agora, aplicando a definição de interseção, de x\in X\cap Y segue que x\in X e x\in Y. Já tínhamos x\in X; o que nos interessa é a outra parte: x\in Y.
Portanto, qualquer x que pertença a X também pertence a Y. Em notação lógica:
\forall x,\; (x\in X \Rightarrow x\in Y).
Isto é exatamente a definição de X\subset Y. Assim a implicação é válida.

Passo 4

Intuição com um exemplo concreto para fixar: tome X=\{1,2\} e Y=\{1,2,3\}. Então
X\cap Y=\{1,2\}=X,
e de fato X\subset Y. O argumento do passo anterior funciona para qualquer X e Y, não só para este exemplo.
Também é útil saber (mas não pedido) que a recíproca é verdadeira: se X\subset Y então X\cap Y=X. Isso mostra que as duas propriedades são equivalentes; mas a prova dada já é suficiente para o enunciado.

Passo 5

Resumo final do raciocínio em uma frase: a igualdade X\cap Y=X garante que todo elemento de X pertence a X\cap Y, e portanto a Y; assim X\subset Y. Boa! Vai dar certo na prova — respira fundo e segue.

Resposta

V

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