Considere os conjuntos
A=z in C mid Re(z)=Im(z) e B=z in C mid Im(z) >= 0 e |z|=1
Determine as imagens de A e B pelas funções a seguir.
f(z)=2 z

Passo 1

O enunciado define os conjuntos
A=zin C:Re(z)=Im(z)e B=zin C:Im(z)>=0 e |z|=1,
e pede para achar as imagens desses conjuntos pela função f(z)=2z. O conteúdo aqui é transformação de conjuntos no plano complexo por dilatação (multiplicação por escalar).

Passo 2

Para achar f(A), pegamos um ponto genérico z=x+ix em A (pois Re(z)=Im(z)=x). Aplicando f temos
w=2z=2(x+ix)=2x+2ix
Como Re(w)=2x e Im(w)=2x, vemos que Re(w)=Im(w). Logo
f(A)=win C:Re(w)=Im(w),
que é a mesma reta do tipo y=x, só que “esticada" em 2 vezes.

Passo 3

Para achar f(B), note que B é o semicírculo superior da circunferência unidade (incluindo a parte real). Se |z|=1 e f(z)=2z, então |f(z)|=2|z|=2. Além disso, a condição Im(z)>=0 se mantém, pois multiplicação por 2 não muda o sinal da parte imaginária. Assim
f(B)=win C:Im(w)>=0 e |w|=2,
ou seja, o semicírculo superior de raio 2.

Passo 4

O procedimento geral aqui é usar que multiplicar por um escalar real alpha em C escala módulos em |alpha| e preserva argumentos (se alpha>0), mantendo relações lineares entre partes real e imaginária.

Resposta

f(A)={w\in\mathbb C:\operatorname{Re}(w)=\operatorname{Im}(w)} e f(B)={w\in\mathbb C:\operatorname{Im}(w)\ge0e|w|=2}

Exercícios relacionados