Considere os conjuntos
Determine as imagens de
e
pelas funções a seguir.
Passo 1
O enunciado define os conjuntos
e pede para achar as imagens desses conjuntos pela função
. O conteúdo aqui é transformação de conjuntos no plano complexo por dilatação (multiplicação por escalar).
Passo 2
Para achar
, pegamos um ponto genérico
em
(pois
). Aplicando
temos
Como
e
, vemos que
. Logo
que é a mesma reta do tipo
, só que “esticada" em 2 vezes.
Passo 3
Para achar
, note que
é o semicírculo superior da circunferência unidade (incluindo a parte real). Se
e
, então
. Além disso, a condição
se mantém, pois multiplicação por 2 não muda o sinal da parte imaginária. Assim
ou seja, o semicírculo superior de raio 2.
Passo 4
O procedimento geral aqui é usar que multiplicar por um escalar real
em
escala módulos em
e preserva argumentos (se
), mantendo relações lineares entre partes real e imaginária.
Resposta
f(A)={w\in\mathbb C:\operatorname{Re}(w)=\operatorname{Im}(w)} e f(B)={w\in\mathbb C:\operatorname{Im}(w)\ge0e|w|=2}