Calcule todos os possíveis valores para s, a soma da fração contínua
[
s=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+···}}}} .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma s da fração contínua infinita composta apenas de uns. O conteúdo aqui é frações contínuas com estrutura periódica, que levam a uma equação auto–referente, e vamos usar propriedades de equações quadráticas para resolver.

Passo 2

Como a fração é infinita e repetitiva, podemos notar que a “cauda” da fração após o primeiro 1 é igual a s novamente. Então escrevemos
s = 1 + 1s

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por s para eliminar o denominador, obtemos
s^2 = s + 1

Passo 4

e rearranjando vem
s^2 - s - 1 = 0

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula de Bhaskara (fórmula da equação quadrática) para a=1, b=-1 e c=-1. Assim,
s = -b pm raizb^2 - 4ac2a = 1 pm raiz1 + 42 = 1 pm raiz52

Passo 6

Portanto, as duas soluções da equação são tfrac1+raiz52 e tfrac1-raiz52. Como a fração contínua é constituída por termos positivos e converge para um valor positivo, o valor real de convergência é tfrac1+raiz52.

Resposta

Os valores possíveis são tfrac1+raiz52 e tfrac1-raiz52, sendo que a fração contínua infinita converge para tfrac1+raiz52.

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