Calcule todos os possíveis valores para
, a soma da fração contínua
[
s=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+···}}}} .
s=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+···}}}} .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma
da fração contínua infinita composta apenas de uns. O conteúdo aqui é frações contínuas com estrutura periódica, que levam a uma equação auto–referente, e vamos usar propriedades de equações quadráticas para resolver.
Passo 2
Como a fração é infinita e repetitiva, podemos notar que a “cauda” da fração após o primeiro 1 é igual a
novamente. Então escrevemos
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador, obtemos
Passo 4
e rearranjando vem
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula de Bhaskara (fórmula da equação quadrática) para
,
e
. Assim,
Passo 6
Portanto, as duas soluções da equação são
e
. Como a fração contínua é constituída por termos positivos e converge para um valor positivo, o valor real de convergência é
.
Resposta
Os valores possíveis são
e
, sendo que a fração contínua infinita converge para
.