Prove que a integral converge para o valor indicado.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a integral imprópria
Passo 2
Vamos introduzir uma função parâtrica que facilita usar diferenciação sob o sinal de integral. Definimos para
complexo com
:
Passo 3
A relação com a integral original surge ao notar que
Passo 4
Conhecendo a fórmula de Beta, temos para
:
Passo 5
Para calcular a derivada de
usamos as propriedades do
e da função digama
:
Passo 6
Agora basta avaliar em
. Primeiro obtemos:
Passo 7
Por fim, juntando tudo, achamos que:
Resposta
-\frac{\pi}{4}