Prove que a integral converge para o valor indicado.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral imprópria

Passo 2

Vamos introduzir uma função parâtrica que facilita usar diferenciação sob o sinal de integral. Definimos para s complexo com 0:

Passo 3

A relação com a integral original surge ao notar que

Passo 4

Conhecendo a fórmula de Beta, temos para 0:

Passo 5

Para calcular a derivada de A(s) usamos as propriedades do Gamma e da função digama psi:

Passo 6

Agora basta avaliar em s=1. Primeiro obtemos:

Passo 7

Por fim, juntando tudo, achamos que:

Resposta

-\frac{\pi}{4}

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