Considere uma constante escalar c. um campo escalar \varphi(x, y, z) e um campo vetorial \vec{A}(x, y, z). Determine as seguintes expressōes:
o gradiente do campo escalar \varphi avaliado no ponto \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right):\left.\vec{\nabla} \varphi\right|_{\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)};

Passo 1

O enunciado pede, de forma direta, o gradiente do campo escalar \varphi avaliado no ponto \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right). Informações dadas:
  • Existe uma constante escalar c (não será necessária para este item).
  • Existe um campo escalar \varphi(x,y,z).
  • Existe um campo vetorial \vec{A}(x,y,z) (também não é necessário aqui).
Pergunta única a responder: calcular \left.\vec{\nabla}\varphi\right|_{\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)}, isto é, o vetor gradiente de \varphi avaliado no ponto dado.

Passo 2

Definição e forma do gradiente. O gradiente é um operador que transforma um campo escalar em um campo vetorial que aponta na direção de maior taxa de aumento do escalar. Em coordenadas cartesianas, o operador nabla é
\nabla = \hat{\mathbf{i}}\frac{\partial}{\partial x}+\hat{\mathbf{j}}\frac{\partial}{\partial y}+\hat{\mathbf{k}}\frac{\partial}{\partial z},
onde \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}} são os vetores unitários nas direções x,y,z. Aplicando ao escalar \varphi obtemos a expressão do gradiente:
\nabla\varphi(x,y,z)=\hat{\mathbf{i}}\frac{\partial\varphi}{\partial x}+\hat{\mathbf{j}}\frac{\partial\varphi}{\partial y}+\hat{\mathbf{k}}\frac{\partial\varphi}{\partial z}.
Isso pode também ser escrito como vetor de componentes:
\nabla\varphi(x,y,z)=\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\frac{\partial\varphi}{\partial y},\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right).

Passo 3

O que significa cada componente e como calcular. Cada componente é uma derivada parcial, que mede a variação de \varphi quando se varia apenas uma coordenada, mantendo as outras fixas. A definição limite da derivada parcial em x no ponto \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right) é
\left.\frac{\partial\varphi}{\partial x}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=\lim_{h\to 0}\frac{\varphi(x_{0}+h,y_{0},z_{0})-\varphi(x_{0},y_{0},z_{0})}{h}.
Analogamente para y e z:
\left.\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=\lim_{h\to 0}\frac{\varphi(x_{0},y_{0}+h,z_{0})-\varphi(x_{0},y_{0},z_{0})}{h},
\left.\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=\lim_{h\to 0}\frac{\varphi(x_{0},y_{0},z_{0}+h)-\varphi(x_{0},y_{0},z_{0})}{h}.
Na prática de prova, calcula-se as derivadas parciais simbolicamente usando regras usuais (potência, produto, cadeia, exponencial, trigonometria) e só depois se substitui o ponto \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right).

Passo 4

Receita passo a passo para a prova:
  1. Calcule simbolicamente \dfrac{\partial\varphi}{\partial x}(x,y,z), \dfrac{\partial\varphi}{\partial y}(x,y,z) e \dfrac{\partial\varphi}{\partial z}(x,y,z).
  2. Substitua (x,y,z)=(x_{0},y_{0},z_{0}) nas expressões obtidas.
  3. Escreva o vetor gradiente avaliado no ponto usando vetores unitários ou como tupla de componentes.
Esse procedimento evita erros e é rápido se souber as regras básicas de derivação.

Passo 5

Exemplo concreto (para fixar a ideia). Suponha
\varphi(x,y,z)=x^{2}y+e^{z}\sin y.
Calcule as parciais:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=2xy,
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=x^{2}+e^{z}\cos y,
\frac{\partial\varphi}{\partial z}=e^{z}\sin y.
Agora avalie no ponto \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right):
\left.\frac{\partial\varphi}{\partial x}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=2x_{0}y_{0},
\left.\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=x_{0}^{2}+e^{z_{0}}\cos y_{0},
\left.\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=e^{z_{0}}\sin y_{0}.
Portanto
\left.\nabla\varphi\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=\hat{\mathbf{i}}(2x_{0}y_{0})+\hat{\mathbf{j}}\bigl(x_{0}^{2}+e^{z_{0}}\cos y_{0}\bigr)+\hat{\mathbf{k}}(e^{z_{0}}\sin y_{0}).
Esse exemplo mostra claramente os dois passos: derivar e depois avaliar.

Passo 6

Dicas finais para a prova (rápido e prático):
  • Primeiro derive simbolicamente; só então substitua os valores do ponto.
  • Use vetores unitários \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}} se a resposta pede direção explícita; use a forma tupla para respostas compactas.
  • Se a função tiver partes complicadas, trate cada termo separadamente (regra do produto e da cadeia). Se estiver com pressa, mantenha a notação organizada para não confundir variáveis.
  • Respira fundo: gradiente é só um vetor de parciais. Você consegue!

Resposta

\displaystyle \left.\nabla\varphi\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=\left(\left.\frac{\partial\varphi}{\partial x}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})},\left.\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})},\left.\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}\right)

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