Considere uma constante escalar c. um campo escalar \varphi(x, y, z) e um campo vetorial \vec{A}(x, y, z). Determine as seguintes expressōes:
o gradiente do campo escalar \varphi avaliado no ponto \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right):\left.\vec{\nabla} \varphi\right|_{\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)};
Passo 1
O enunciado pede, de forma direta, o gradiente do campo escalar \varphi avaliado no ponto \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right). Informações dadas:
Existe uma constante escalar c (não será necessária para este item).
Existe um campo escalar \varphi(x,y,z).
Existe um campo vetorial \vec{A}(x,y,z) (também não é necessário aqui).
Pergunta única a responder: calcular \left.\vec{\nabla}\varphi\right|_{\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)}, isto é, o vetor gradiente de \varphi avaliado no ponto dado.
Passo 2
Definição e forma do gradiente. O gradiente é um operador que transforma um campo escalar em um campo vetorial que aponta na direção de maior taxa de aumento do escalar. Em coordenadas cartesianas, o operador nabla é
onde \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}} são os vetores unitários nas direções x,y,z. Aplicando ao escalar \varphi obtemos a expressão do gradiente:
O que significa cada componente e como calcular. Cada componente é uma derivada parcial, que mede a variação de \varphi quando se varia apenas uma coordenada, mantendo as outras fixas. A definição limite da derivada parcial em x no ponto \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right) é
Na prática de prova, calcula-se as derivadas parciais simbolicamente usando regras usuais (potência, produto, cadeia, exponencial, trigonometria) e só depois se substitui o ponto \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right).
Passo 4
Receita passo a passo para a prova:
Calcule simbolicamente \dfrac{\partial\varphi}{\partial x}(x,y,z), \dfrac{\partial\varphi}{\partial y}(x,y,z) e \dfrac{\partial\varphi}{\partial z}(x,y,z).
Substitua (x,y,z)=(x_{0},y_{0},z_{0}) nas expressões obtidas.
Escreva o vetor gradiente avaliado no ponto usando vetores unitários ou como tupla de componentes.
Esse procedimento evita erros e é rápido se souber as regras básicas de derivação.
Passo 5
Exemplo concreto (para fixar a ideia). Suponha
\varphi(x,y,z)=x^{2}y+e^{z}\sin y.
Calcule as parciais:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=2xy,
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=x^{2}+e^{z}\cos y,
\frac{\partial\varphi}{\partial z}=e^{z}\sin y.
Agora avalie no ponto \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right):
Esse exemplo mostra claramente os dois passos: derivar e depois avaliar.
Passo 6
Dicas finais para a prova (rápido e prático):
Primeiro derive simbolicamente; só então substitua os valores do ponto.
Use vetores unitários \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}} se a resposta pede direção explícita; use a forma tupla para respostas compactas.
Se a função tiver partes complicadas, trate cada termo separadamente (regra do produto e da cadeia). Se estiver com pressa, mantenha a notação organizada para não confundir variáveis.
Respira fundo: gradiente é só um vetor de parciais. Você consegue!