Sejam
\vec{v} um vetor constante, \varphi(x, y, z) um campo escalar, e \vec{A}(x, y, z) e \vec{B}(x, y, z) campos vetoriais. Calcule e interprete fisicamente, quando aplicável:
O gradiente do produto escalar: \vec{\nabla}(\vec{A} \cdot \vec{B})

Passo 1

O enunciado dá:
  • Dois campos vetoriais dependentes da posição: \vec{A}(x,y,z) e \vec{B}(x,y,z).
  • Pede para calcular e interpretar o gradiente do produto escalar \vec{\nabla}(\vec{A}\cdot\vec{B}).
Informações relevantes que vamos usar:
  • O produto escalar \vec{A}\cdot\vec{B} é um campo escalar igual a A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z.
  • O operador gradiente \vec{\nabla} tem componentes \partial_x,\partial_y,\partial_z, ou em notação vetorial \vec{\nabla}=(\partial_x,\partial_y,\partial_z).
  • A resposta final deve ser uma expressão vetorial que mostre como a variação espacial do escalar \vec{A}\cdot\vec{B} se relaciona com as variações de \vec{A} e \vec{B}.

Passo 2

Definições e notação (explicando devagar):
  • O gradiente de um escalar s(x,y,z) é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais:
(\vec{\nabla} s)_i=\partial_i s,
onde escrevemos \partial_i para \dfrac{\partial}{\partial x_i} com x_1=x,x_2=y,x_3=z.
  • O produto escalar é
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z.
  • A operação direcional (\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B} é um vetor cujas componentes são
\big((\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}\big)_i = A_j\,\partial_j B_i,
ou seja, aplica-se o operador direcional \vec{A}\cdot\vec{\nabla}=A_x\partial_x+A_y\partial_y+A_z\partial_z componente a componente em \vec{B}.
  • O rotacional (curl) tem componentes
(\vec{\nabla}\times\vec{B})_i=\epsilon_{ijk}\,\partial_j B_k,
onde \epsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita (permutações).
Vou usar essas definições para derivar a identidade pedida de forma explícita.

Passo 3

Cálculo componente a componente do gradiente do produto escalar:
escrevendo S=\vec{A}\cdot\vec{B}=A_j B_j (soma sobre j nas componentes),
as componentes do gradiente são
(\vec{\nabla}(\vec{A}\cdot\vec{B}))_i=\partial_i(A_j B_j).
Aplicando a regra do produto para derivadas parciais:
\partial_i(A_j B_j)=(\partial_i A_j) B_j + A_j (\partial_i B_j).
Portanto, em forma vetorial preliminar temos
\vec{\nabla}(\vec{A}\cdot\vec{B}) \quad\text{(componentes)}\quad = \big((\partial_i A_j) B_j + A_j(\partial_i B_j)\big)\,\hat{e}_i.
Agora precisamos reorganizar esses termos para reconhecê-los como operadores vetoriais usuais.

Passo 4

Transformar as derivadas mistas em formas conhecidas usando o rotacional:
a ideia é escrever termos como (\partial_i A_j)B_j em função de (\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A} e de um termo que envolve o rotacional de \vec{A}.
Usamos a identidade em componentes (derivada trocada + rotacional):
\partial_i A_j = \partial_j A_i + \big(\partial_i A_j - \partial_j A_i\big).
Mas \partial_i A_j - \partial_j A_i é exatamente relacionado ao rotacional:
(\vec{\nabla}\times\vec{A})_k=\epsilon_{kij}\,(\partial_i A_j),
e, invertendo com identidades de Levi-Civita, obtém-se
\partial_i A_j - \partial_j A_i = \epsilon_{ijk}\,(\vec{\nabla}\times\vec{A})_k.
Multiplicando por B_j e somando índices, obtemos
(\partial_i A_j)B_j = B_j\partial_j A_i + \big(B_j\,\epsilon_{ijk}\,(\vec{\nabla}\times\vec{A})_k\big).
Reconhecendo o produto vetorial na segunda parcela e usando notação vetorial,
\big(B_j\,\epsilon_{ijk}\,(\vec{\nabla}\times\vec{A})_k\big)\hat{e}_i = \vec{B}\times(\vec{\nabla}\times\vec{A}).
Assim, em forma vetorial
(\partial_i A_j)B_j \\ \longrightarrow\\ (\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A} + \vec{B}\times(\vec{\nabla}\times\vec{A})
onde (\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A} tem componentes B_j\partial_j A_i.
Analogamente, trocando \vec{A} por \vec{B},
A_j(\partial_i B_j) = (\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B} + \vec{A}\times(\vec{\nabla}\times\vec{B}).

Passo 5

Somando as duas contribuições obtidas no passo anterior, voltando à expressão do passo 3:
\vec{\nabla}(\vec{A}\cdot\vec{B}) = \big((\partial_i A_j) B_j + A_j(\partial_i B_j)\big)\hat{e}_i
substituindo as decomposições:
\vec{\nabla}(\vec{A}\cdot\vec{B}) = (\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A} + \vec{B}\times(\vec{\nabla}\times\vec{A}) + (\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B} + \vec{A}\times(\vec{\nabla}\times\vec{B}).
Reordenando os termos de forma bonita:
\boxed{\; \vec{\nabla}(\vec{A}\cdot\vec{B}) = (\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B} + (\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A} + \vec{A}\times(\vec{\nabla}\times\vec{B}) + \vec{B}\times(\vec{\nabla}\times\vec{A}) \;}
Essa é a identidade procurada.

Passo 6

Interpretação física e intuição (passo a passo, sem jargões desnecessários):
  • \vec{\nabla}(\vec{A}\cdot\vec{B}) diz como muda no espaço o escalar que mede o alinhamento/combinação de \vec{A} e \vec{B}.
  • Os termos (\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B} e (\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A} são derivados direcionais: medem como \vec{B} varia ao longo da direção de \vec{A} e vice-versa — pense em “transporte” ou “convecção” das variações.
  • Os termos \vec{A}\times(\vec{\nabla}\times\vec{B}) e \vec{B}\times(\vec{\nabla}\times\vec{A}) envolvem os rotações locais (rotacionais) de \vec{A} e \vec{B}. Esses termos aparecem porque a variação de componentes cruzadas (onde a rotação local modifica o alinhamento) também influencia a mudança do produto escalar.
  • Em palavras: a mudança do escalar \vec{A}\cdot\vec{B} vem da combinação de (i) como cada campo muda ao longo do outro e (ii) como cada campo gira localmente (curl) e, por interação com o outro campo, produz contribuição ao gradiente.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar (faça mentalmente na prova):
  • Se \vec{A}=\vec{B}=\vec{v} (campo de velocidades), então
\vec{\nabla}(\vec{v}\cdot\vec{v}) = 2(\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} + 2\,\vec{v}\times(\vec{\nabla}\times\vec{v}).
Rearranjando obtém-se a fórmula usada frequentemente em mecânica dos fluidos:
(\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} = \tfrac{1}{2}\vec{\nabla}(\vec{v}\cdot\vec{v}) - \vec{v}\times(\vec{\nabla}\times\vec{v}),
que mostra explicitamente a relação entre aceleração convectiva, gradiente de energia cinética por unidade de massa e efeito do vorticidade ( \vec{\nabla}\times\vec{v}).
Dica de prova: se esquecer a identidade, derive rápido componente a componente como fizemos — é direto e confiável.

Resposta

\vec{\nabla}(\vec{A}\cdot\vec{B}) = (\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B} + (\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A} + \vec{A}\times(\vec{\nabla}\times\vec{B}) + \vec{B}\times(\vec{\nabla}\times\vec{A})

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