Sejam
um vetor constante,
um campo escalar, e
e
campos vetoriais. Calcule e interprete fisicamente, quando aplicável:
O gradiente do produto escalar:
O gradiente do produto escalar:
Passo 1
O enunciado dá:
- Dois campos vetoriais dependentes da posição:
e . - Pede para calcular e interpretar o gradiente do produto escalar
.
Informações relevantes que vamos usar:
- O produto escalar
é um campo escalar igual a . - O operador gradiente
tem componentes , ou em notação vetorial . - A resposta final deve ser uma expressão vetorial que mostre como a variação espacial do escalar
se relaciona com as variações de e .
Passo 2
Definições e notação (explicando devagar):
- O gradiente de um escalar
é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais:
onde escrevemos
para
com
.
- O produto escalar é
- A operação direcional
é um vetor cujas componentes são
ou seja, aplica-se o operador direcional
componente a componente em
.
- O rotacional (curl) tem componentes
onde
é o símbolo de Levi-Civita (permutações).
Vou usar essas definições para derivar a identidade pedida de forma explícita.
Passo 3
Cálculo componente a componente do gradiente do produto escalar:
escrevendo (soma sobre
nas componentes),
as componentes do gradiente são
escrevendo
as componentes do gradiente são
Aplicando a regra do produto para derivadas parciais:
Portanto, em forma vetorial preliminar temos
Agora precisamos reorganizar esses termos para reconhecê-los como operadores vetoriais usuais.
Passo 4
Transformar as derivadas mistas em formas conhecidas usando o rotacional:
a ideia é escrever termos como em função de
e de um termo que envolve o rotacional de
.
a ideia é escrever termos como
Usamos a identidade em componentes (derivada trocada + rotacional):
Mas
é exatamente relacionado ao rotacional:
e, invertendo com identidades de Levi-Civita, obtém-se
Multiplicando por
e somando índices, obtemos
Reconhecendo o produto vetorial na segunda parcela e usando notação vetorial,
Assim, em forma vetorial
onde
tem componentes
.
Analogamente, trocando
por
,
Passo 5
Somando as duas contribuições obtidas no passo anterior, voltando à expressão do passo 3:
substituindo as decomposições:
Reordenando os termos de forma bonita:
Essa é a identidade procurada.
Passo 6
Interpretação física e intuição (passo a passo, sem jargões desnecessários):
-
diz como muda no espaço o escalar que mede o alinhamento/combinação de e . - Os termos
e são derivados direcionais: medem como varia ao longo da direção de e vice-versa — pense em “transporte” ou “convecção” das variações. - Os termos
e envolvem os rotações locais (rotacionais) de e . Esses termos aparecem porque a variação de componentes cruzadas (onde a rotação local modifica o alinhamento) também influencia a mudança do produto escalar. - Em palavras: a mudança do escalar
vem da combinação de (i) como cada campo muda ao longo do outro e (ii) como cada campo gira localmente (curl) e, por interação com o outro campo, produz contribuição ao gradiente.
Passo 7
Exemplo rápido para fixar (faça mentalmente na prova):
- Se
(campo de velocidades), então
Rearranjando obtém-se a fórmula usada frequentemente em mecânica dos fluidos:
que mostra explicitamente a relação entre aceleração convectiva, gradiente de energia cinética por unidade de massa e efeito do vorticidade (
).
Dica de prova: se esquecer a identidade, derive rápido componente a componente como fizemos — é direto e confiável.