(2,5 pt.) Considere uma função periódica com período
(a)
pt.) Escreva a função
de um sinal nulo de
até
e 1 de 0 até
.
(a)
Passo 1
O enunciado dá uma função periódica com período
e descreve o valor da função no intervalo fundamental: a função é nula (valor
) desde
até imediatamente antes de
(escrito como
) e vale
desde
até
. A tarefa é escrever explicitamente a função
.
Informações relevantes:
- Período:
. - Valores na janela fundamental:
-
para em . -
para em .
-
- Deve-se estender essa definição para todo
por periodicidade.
Passo 2
O que significa estender por periodicidade: escolher um intervalo fundamental (aqui
Vou adotar a convenção de intervalos semiabertos
para evitar ambiguidade nas fronteiras. Assim, na janela
definimos
Observação didática: escolhas nos pontos de fronteira (por exemplo
) não afetam a periodicidade geral; é comum usar semiabertos para que cada ponto pertença a exatamente uma cópia da janela.]
Passo 3
Agora escrevo
Isso significa: pegue qualquer inteiro
deslocada por
a função vale
na metade esquerda e
na metade direita.]
Passo 4
Forma alternativa, útil para implementações e para entender o mecanismo do “resto”: defina a variável
que é o resto de
Explicação da notação:
). Esse procedimento mapeia qualquer
para a sua posição dentro de uma única janela de comprimento
e então aplica a regra
.]
Passo 5
Exemplos rápidos para fixar (usando a convenção acima):
-
(porque na janela). -
. -
. -
com a convenção de semiabertos, pois corresponde ao início da próxima janela onde o valor é .