(2,5 pt.) Considere uma função periódica com período 2 L
(a) \left(0,5\right. pt.) Escreva a função f(x) de um sinal nulo de L até 0_{-}e 1 de 0 até L.

Passo 1

O enunciado dá uma função periódica com período 2L e descreve o valor da função no intervalo fundamental: a função é nula (valor 0) desde -L até imediatamente antes de 0 (escrito como 0_{-}) e vale 1 desde 0 até L. A tarefa é escrever explicitamente a função f(x).
Informações relevantes:
  • Período: 2L.
  • Valores na janela fundamental:
    • f(x)=0 para x em [-L,0).
    • f(x)=1 para x em [0,L).
  • Deve-se estender essa definição para todo x\in\mathbb{R} por periodicidade.

Passo 2

O que significa estender por periodicidade: escolher um intervalo fundamental (aqui [-L,L)\) é conveniente) e definir \(f\) naquele intervalo; depois repetir esses mesmos valores a cada deslocamento de tamanho \(2L\). A condição de periodicidade é \[f(x+2L)=f(x)\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Vou adotar a convenção de intervalos semiabertos [a,b) para evitar ambiguidade nas fronteiras. Assim, na janela [-L,L) definimos
f(x)=\begin{cases} 0, & x\in[-L,0),\\[4pt] 1, & x\in[0,L). \end{cases}
Observação didática: escolhas nos pontos de fronteira (por exemplo x=L\] ou \(x=-L) não afetam a periodicidade geral; é comum usar semiabertos para que cada ponto pertença a exatamente uma cópia da janela.]

Passo 3

Agora escrevo f(x)\) para todo \(x\) usando a repetição por inteiros \(k\in\mathbb{Z}\). A forma explícita é \[f(x)=\begin{cases} 0, & \text{se } x\in[-L+2kL,\;0+2kL)\text{ para algum }k\in\mathbb{Z},\\[6pt] 1, & \text{se } x\in[0+2kL,\;L+2kL)\text{ para algum }k\in\mathbb{Z}. \end{cases}
Isso significa: pegue qualquer inteiro k\]; na cópia do intervalo \([-L,L) deslocada por 2kL a função vale 0 na metade esquerda e 1 na metade direita.]

Passo 4

Forma alternativa, útil para implementações e para entender o mecanismo do “resto”: defina a variável
y=x-2L\left\lfloor\frac{x}{2L}\right\rfloor,
que é o resto de x\) ao dividir por \(2L\) (logo \(y\in[0,2L)\)). Em termos de \(y\) a função fica simples: \[f(x)=\begin{cases} 1, & 0\le y < L,\\[4pt] 0, & L\le y < 2L. \end{cases}
Explicação da notação: \lfloor z\rfloor\] é a função piso (maior inteiro \(\le z). Esse procedimento mapeia qualquer x para a sua posição dentro de uma única janela de comprimento 2L e então aplica a regra 0/1.]

Passo 5

Exemplos rápidos para fixar (usando a convenção acima):
  • f(0)=1 (porque 0\in[0,L) na janela).
  • f\bigl(\tfrac{L}{2}\bigr)=1.
  • f\bigl(-\tfrac{L}{2}\bigr)=0.
  • f(L)=0 com a convenção de semiabertos, pois L corresponde ao início da próxima janela onde o valor é 0.

Resposta

f(x)=\begin{cases} 0, & \text{se } x\in[-L+2kL,\;0+2kL)\text{ para algum }k\in\mathbb{Z},\\[6pt] 1, & \text{se } x\in[0+2kL,\;L+2kL)\text{ para algum }k\in\mathbb{Z}. \end{cases}]

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