Considere um consumidor cujas preferências são representadas pela função utilidade u\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(x_{1}^{\rho}+x_{2}^{\rho}\right)^{1 / \rho}, 0<\rho<1. Denote os preços dos bens por p_{1} e p_{2} e represente a riqueza do consumidor por w.
Calcule as demandas pelos dois bens, x_{1}(\boldsymbol{p}, w) e x_{2}(\boldsymbol{p}, w). Não precisa checar as condições de segunda ordem.

Passo 1

O enunciado apresenta um consumidor com preferência CES dada por
u(x_{1},x_{2}) = \bigl(x_{1}^{\rho} + x_{2}^{\rho}\bigr)^{1/\rho},\quad 0<\rho<1,
preços p_{1},p_{2} e riqueza w. Pedem as demandas marshallianas x_{1}(p,w) e x_{2}(p,w).
Conteúdo: maximização de utilidade sob restrição orçamentária via método de Lagrange.

Passo 2

Formulamos o problema equivalente de maximizar x_{1}^{\rho}+x_{2}^{\rho} sujeito a p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=w. O Lagrangeano é
L = x_{1}^{\rho} + x_{2}^{\rho} + \lambda\bigl(w - p_{1}x_{1} - p_{2}x_{2}\bigr).

Passo 3

As condições de primeira ordem são, para i=1,2,
\frac{\partial L}{\partial x_{i}}:\quad \rho\,x_{i}^{\rho-1} - \lambda\,p_{i} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \rho\,x_{i}^{\rho-1} = \lambda\,p_{i}.
Fazendo a razão entre i=1 e i=2,
\frac{x_{1}^{\rho-1}}{x_{2}^{\rho-1}} = \frac{p_{1}}{p_{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{x_{1}}{x_{2}} = \Bigl(\frac{p_{1}}{p_{2}}\Bigr)^{1/(\rho-1)}.

Passo 4

Da razão acima segue
x_{1} = x_{2}\,\Bigl(\tfrac{p_{1}}{p_{2}}\Bigr)^{1/(\rho-1)}.
Substituindo na restrição orçamentária
p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=w \;\Longrightarrow\; p_{1}\,x_{2}\Bigl(\tfrac{p_{1}}{p_{2}}\Bigr)^{1/(\rho-1)} + p_{2}\,x_{2} = w.
Note que
p_{1}\Bigl(\tfrac{p_{1}}{p_{2}}\Bigr)^{1/(\rho-1)} = p_{1}^{1 + 1/(\rho-1)}\,p_{2}^{-1/(\rho-1)} = p_{1}^{\rho/(\rho-1)}\,p_{2}^{-\!1/(\rho-1)},
e 1 + 1/(\rho-1)=\rho/(\rho-1). Assim
x_{2}\bigl[p_{1}^{\rho/(\rho-1)} + p_{2}^{\rho/(\rho-1)}\bigr] = w \quad\Longrightarrow\quad x_{2} = \frac{w}{p_{1}^{\rho/(\rho-1)} + p_{2}^{\rho/(\rho-1)}}.
E então
x_{1} = x_{2}\,\Bigl(\frac{p_{1}}{p_{2}}\Bigr)^{1/(\rho-1)} = \frac{w\,p_{1}^{1/(\rho-1)}}{p_{1}^{\rho/(\rho-1)} + p_{2}^{\rho/(\rho-1)}}.

Resposta

x_{1}(p,w) = w\, \frac{p_{1}^{1/(\rho-1)}} {p_{1}^{\rho/(\rho-1)} + p_{2}^{\rho/(\rho-1)}}, \qquad x_{2}(p,w) = w\, \frac{p_{2}^{1/(\rho-1)}} {p_{1}^{\rho/(\rho-1)} + p_{2}^{\rho/(\rho-1)}}.

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