Sejam os vetores boldsymbol{u}=(1,0,-2), \boldsymbol{v}=(1,3,1) e boldsymbol{w}=(-1,1,1) e considere as seguintes matrizes:
U=\left[\begin{array}{lll} x & 1 & 2 \\\\ 0 & 3 & 5 \\\\ 2 & 2 & 2 \end{array}\right], \quad V=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & y & 1 \\\\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right], \mathrm{e} \quad W=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 4 & 1 \\\\ 2 & 3 & z \end{array}\right]
Defina \tilde{\boldsymbol{u}}=U \boldsymbol{u}, \tilde{\boldsymbol{v}}=V \boldsymbol{v} e \tilde{\boldsymbol{w}}=W \boldsymbol{w}.
Para (x, y, z)=(0,0,0), \tilde{\boldsymbol{u}}, \tilde{\boldsymbol{v}} e \tilde{\boldsymbol{w}} formam uma base do \mathbb{R}^{3} ? Justifique.

Passo 1

O enunciado está em Álgebra Linear e pede para verificar se os vetores \tilde{\boldsymbol{u}}=U\boldsymbol{u}, \tilde{\boldsymbol{v}}=V\boldsymbol{v} e \tilde{\boldsymbol{w}}=W\boldsymbol{w}
formam uma base de \mathbb{R}^3 quando (x,y,z)=(0,0,0). Para isso, vamos calcular esses vetores e checar se são linearmente independentes, por exemplo calculando o determinante da matriz cujas colunas são eles.

Passo 2

Com (x,y,z)=(0,0,0) temos
U=\begin{pmatrix}0&1&2\\\ 0&3&5\\\ 2&2&2\end{pmatrix},\quad V=\begin{pmatrix}1&1&2\\\ 0&0&1\\\ 1&3&2\end{pmatrix},\quad W=\begin{pmatrix}2&1&2\\\ 1&4&1\\\ 2&3&0\end{pmatrix}.
Calculando \boldsymbol{u}=(1,0,-2):
\tilde{\boldsymbol{u}}=U\boldsymbol{u} =\begin{pmatrix}0\cdot1+1\cdot0+2\cdot(-2)\\\ 0\cdot1+3\cdot0+5\cdot(-2)\\\ 2\cdot1+2\cdot0+2\cdot(-2)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-4\\\ -10\\\ -2\end{pmatrix}.
Para \boldsymbol{v}=(1,3,1):
\tilde{\boldsymbol{v}}=V\boldsymbol{v} =\begin{pmatrix}1+3+2\\\ 0+0+1\\\ 1+9+2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6\\\ 1\\\ 12\end{pmatrix}.
Para \boldsymbol{w}=(-1,1,1):
\tilde{\boldsymbol{w}}=W\boldsymbol{w} =\begin{pmatrix}-2+1+2\\\ -1+4+1\\\ -2+3+0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 4\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Formamos a matriz cujas colunas são \tilde{\boldsymbol{u}},\tilde{\boldsymbol{v}},\tilde{\boldsymbol{w}}:
M=\begin{pmatrix} -4 & 6 & 1\\\\ -10& 1 & 4\\\\ -2 &12 & 1 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante por expansão:
\det(M) =-4\det\!\begin{pmatrix}1&4\\\ 12&1\end{pmatrix} -6\det\!\begin{pmatrix}-10&4\\\ -2&1\end{pmatrix} +1\det\!\begin{pmatrix}-10&1\\\ -2&12\end{pmatrix}.
Agora,
\det\!\begin{pmatrix}1&4\\\ 12&1\end{pmatrix}=1-48=-47,\quad \det\!\begin{pmatrix}-10&4\\\ -2&1\end{pmatrix}=-10+8=-2,
\det\!\begin{pmatrix}-10&1\\\ -2&12\end{pmatrix}=-120+2=-118.
Logo,
\det(M) =(-4)(-47)-6(-2)+1(-118) =188+12-118 =82\neq0.

Passo 4

Como \det(M)\neq0, as colunas de M são linearmente independentes. Portanto \tilde{\boldsymbol{u}},\tilde{\boldsymbol{v}},\tilde{\boldsymbol{w}} formam uma base de \mathbb{R}^3.

Resposta

Sim, para (x,y,z)=(0,0,0) os vetores \tilde{\boldsymbol{u}},\tilde{\boldsymbol{v}},\tilde{\boldsymbol{w}} formam uma base de \mathbb{R}^3, pois o determinante da matriz formada por eles é 82\neq0.

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