Defina \tilde{\boldsymbol{u}}=U \boldsymbol{u}, \tilde{\boldsymbol{v}}=V \boldsymbol{v} e \tilde{\boldsymbol{w}}=W \boldsymbol{w}.
Para (x, y, z)=(0,0,0), \tilde{\boldsymbol{u}}, \tilde{\boldsymbol{v}} e \tilde{\boldsymbol{w}} formam uma base do \mathbb{R}^{3} ? Justifique.
Passo 1
O enunciado está em Álgebra Linear e pede para verificar se os vetores \tilde{\boldsymbol{u}}=U\boldsymbol{u}, \tilde{\boldsymbol{v}}=V\boldsymbol{v} e \tilde{\boldsymbol{w}}=W\boldsymbol{w}
formam uma base de \mathbb{R}^3 quando (x,y,z)=(0,0,0). Para isso, vamos calcular esses vetores e checar se são linearmente independentes, por exemplo calculando o determinante da matriz cujas colunas são eles.
Como \det(M)\neq0, as colunas de M são linearmente independentes. Portanto \tilde{\boldsymbol{u}},\tilde{\boldsymbol{v}},\tilde{\boldsymbol{w}} formam uma base de \mathbb{R}^3.
Resposta
Sim, para (x,y,z)=(0,0,0) os vetores \tilde{\boldsymbol{u}},\tilde{\boldsymbol{v}},\tilde{\boldsymbol{w}} formam uma base de \mathbb{R}^3, pois o determinante da matriz formada por eles é 82\neq0.