1. ( 3,0 pontos) Considere um mercado com duas firmas: 1 e 2 . Suponha que a demanda pelo bem produzido pela firma 1 seja dada por
q_{1}\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=f\left(p_{1}, m\right)+b p_{2}
onde q_{1} é a quantidade demandada pelo bem da firma 1, p_{1} é o preço cobrado pela firma 1, m é o gasto com marketing da firma 1 e p_{2}>0 é o preço do bem produzido pela firma 2 . A função f é duas vezes continuamente diferenciável e o coeficiente b>0 mede o grau de substitutibilidade entre os bens das duas firmas. O custo da firma 1 é dado por c\left(q_{1}, m\right)=c q_{1}+m, onde c>0. Assim, o lucro da firma 1 é
\pi\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=\left(p_{1}-c\right)\left[f\left(p_{1}, m\right)+b p_{2}\right]-m
A firma 1 escolhe o seu preço, p_{1}, e o seu gasto com marketing, m, de forma a maximizar o seu lucro. Admita que
\frac{\partial f\left(p_{1}, m\right)}{\partial p_{1}}<0, \frac{\partial^{2} f\left(p_{1}, m\right)}{\partial p_{1}^{2}}<0 \text { e } \frac{\partial f\left(p_{1}, m\right)}{\partial m}>0
Com base nessas informações, responda os itens a seguir.
(a) ( 1,0 ponto) Assumindo solução interior, p_{1}^{*}>0 e m^{*}>0, encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma 1. Com base no que você encontrou, determine o sinal (positivo ou negativo) de p_{1}^{*}-c e de q_{1}\left(p_{1}^{*}, m^{*}, p_{2}\right).
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que \left(p_{1}^{*}, m^{*}\right) que resolve o item anterior constitua um ponto de máximo local estrito. Qual condição deve ser imposta sobre \frac{\partial^{2} f\left(p_{1}^{*}, m^{*}\right)}{\partial m^{2}} ?

Passo 1

O problema é maximizar o lucro da firma 1 em relação a p_{1} e m, sabendo que
\pi(p_{1},m,p_{2})=(p_{1}-c)\bigl[f(p_{1},m)+b\,p_{2}\bigr]-m
com f_{p_{1}}<0, f_{p_{1}p_{1}}<0 e f_{m}>0. Vamos achar (a) as condições de primeira ordem e os sinais de p_{1}^{*}-c e de q_{1}, e (b) as condições de segunda ordem, em particular o sinal de f_{mm}.

Passo 2

Derivadas parciais da função-lucro:
\frac{\partial\pi}{\partial p_{1}} =\bigl[f(p_{1},m)+b\,p_{2}\bigr]+(p_{1}-c)\,f_{p_{1}}(p_{1},m)=0,
\frac{\partial\pi}{\partial m} =(p_{1}-c)\,f_{m}(p_{1},m)-1=0.

Passo 3

Da primeira condição obtemos
(p_{1}^{*}-c)\,f_{p_{1}}(p_{1}^{*},m^{*}) =-\bigl[f(p_{1}^{*},m^{*})+b\,p_{2}\bigr].
Como f_{p_{1}}<0 e f+b\,p_{2}>0, segue p_{1}^{*}-c>0. Além disso,
q_{1}(p_{1}^{*},m^{*},p_{2}) =f(p_{1}^{*},m^{*})+b\,p_{2} =-(p_{1}^{*}-c)\,f_{p_{1}}(p_{1}^{*},m^{*})>0.

Passo 4

A condição de segunda ordem exige que o Hessiano de \pi seja definido negativo. Isso implica
\pi_{p_{1}p_{1}}<0 \quad\text{e}\quad \det\begin{pmatrix} \pi_{p_{1}p_{1}} & \pi_{p_{1}m}\\\ \pi_{m p_{1}} & \pi_{mm} \end{pmatrix}>0.
Em particular,
\pi_{mm}=(p_{1}^{*}-c)\,f_{mm}(p_{1}^{*},m^{*})<0.

Passo 5

Para garantir \pi_{mm}<0 e, assim, a definição negativa do Hessiano, é preciso
f_{mm}(p_{1}^{*},m^{*})<0.

Resposta

(a) As condições de primeira ordem são
f(p_{1}^{*},m^{*})+b\,p_{2}+(p_{1}^{*}-c)\,f_{p_{1}}(p_{1}^{*},m^{*})=0, \quad (p_{1}^{*}-c)\,f_{m}(p_{1}^{*},m^{*})=1.
Da primeira equação segue p_{1}^{*}-c>0 e q_{1}(p_{1}^{*},m^{*},p_{2})>0.
(b) As condições suficientes de segunda ordem são \pi_{p_{1}p_{1}}<0 e \det(H)>0. Em particular, exige-se
f_{mm}(p_{1}^{*},m^{*})<0.

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