- ( 3,0 pontos) Considere um mercado com duas firmas: 1 e 2 . Suponha que a demanda pelo bem produzido pela firma 1 seja dada por
onde
é a quantidade demandada pelo bem da firma
é o preço cobrado pela firma
é o gasto com marketing da firma 1 e
é o preço do bem produzido pela firma 2 . A função
é duas vezes continuamente diferenciável e o coeficiente
mede o grau de substitutibilidade entre os bens das duas firmas. O custo da firma 1 é dado por
, onde
. Assim, o lucro da firma 1 é
A firma 1 escolhe o seu preço,
, e o seu gasto com marketing,
, de forma a maximizar o seu lucro. Admita que
Com base nessas informações, responda os itens a seguir.
(a) ( 1,0 ponto) Assumindo solução interior,
e
, encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma 1. Com base no que você encontrou, determine o sinal (positivo ou negativo) de
e de
.
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que
que resolve o item anterior constitua um ponto de máximo local estrito. Qual condição deve ser imposta sobre
?
(a) ( 1,0 ponto) Assumindo solução interior,
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que
Passo 1
O problema é maximizar o lucro da firma 1 em relação a
e
, sabendo que
com
,
e
. Vamos achar (a) as condições de primeira ordem e os sinais de
e de
, e (b) as condições de segunda ordem, em particular o sinal de
.
Passo 2
Derivadas parciais da função-lucro:
Passo 3
Da primeira condição obtemos
Como
e
, segue
. Além disso,
Passo 4
A condição de segunda ordem exige que o Hessiano de
seja definido negativo. Isso implica
Em particular,
Passo 5
Para garantir
e, assim, a definição negativa do Hessiano, é preciso
Resposta
(a) As condições de primeira ordem são
Da primeira equação segue
e
.
(b) As condições suficientes de segunda ordem são
e
. Em particular, exige-se