Questão 3: (13 pts) Dadas as bases B_{1}=\{(1,3),(4,1)\} e B_{2}=\{(1,1),(1,3)\} de, \mathbb{R}^{2}.
a) (3 pts ) A matriz de mudança de base [T]_{B_{2}}^{B_{1}}
Determine:
b ) (3 pts) A matriz de mudança de base [T]_{B_{1}}^{B_{2}}
c) (2 pts) Confirme que [T]_{B_{1}}^{B_{2}} e [T]_{B_{2}}^{B_{1}} são inversas uma da outra.
d) (3 pts ) Seja w=(3,6). ( w na base canônica). Econtre [w]_{B_{1}}.
e) (2 \mathrm{pts}) considere [w]_{B_{1}}. Econtre [w]_{B_{2}}.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^2: \displaystyle B_1=\{(1,3),(4,1)\} e \displaystyle B_2=\{(1,1),(1,3)\}.
Queremos achar as matrizes de transição (mudança de base) do endereçamento canônico/identidade, que chamamos aqui de T, de modo que \,[T]_{B_2}^{B_1} leva coordendas em B_2 para B_1, e \,[T]_{B_1}^{B_2} faz o inverso.
Depois confirmamos que são inversas, e então calculamos as coordenadas de w=(3,6) em cada base.

Passo 2

Para obter [T]_{B_2}^{B_1}\) expressamos cada vetor de \(B_2\) em coordenadas da base \(B_1\). Seja \(\;v_1=(1,1)\). Procuramos \(c_1,c_2\) tais que \[c_1\,(1,3)+c_2\,(4,1)=(1,1).
Isso gera o sistema
\begin{cases} c_1+4c_2=1,\\\\ 3c_1+c_2=1. \end{cases}
Resolvendo, obtemos c_1=\tfrac{3}{11}\], \(c_2=\tfrac{2}{11}.
Para \;v_2=(1,3) resolvemos
c_1\,(1,3)+c_2\,(4,1)=(1,3),
o que dá c_1=1, c_2=0.
Logo, em relação a B_1, as colunas de [T]_{B_2}^{B_1} são esses pares (c_1,c_2).
[T]_{B_2}^{B_1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{11} & 1\\\ \frac{2}{11} & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para obter [T]_{B_1}^{B_2} podemos inverter [T]_{B_2}^{B_1} ou expressar diretamente os vetores de B_1 em B_2.
Fazendo inversão da matriz anterior, obtemos
[T]_{B_1}^{B_2} =\bigl([T]_{B_2}^{B_1}\bigr)^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac{11}{2}\\\\ 1 & -\tfrac{3}{2} \end{pmatrix}.

Passo 4

Confirmamos que são inversas multiplicando
[T]_{B_2}^{B_1}\,[T]_{B_1}^{B_2} = \begin{pmatrix} \frac{3}{11} & 1\\[6pt] \frac{2}{11} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & \tfrac{11}{2}\\[3pt] 1 & -\tfrac{3}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Para encontrar [w]_{B_1}\) com \(w=(3,6)\) resolvemos \[c_1\,(1,3)+c_2\,(4,1)=(3,6),
isto é
\begin{cases} c_1+4c_2=3,\\\\ 3c_1+c_2=6. \end{cases}
A solução é c_1=\tfrac{21}{11}\], \(c_2=\tfrac{3}{11}.
Portanto
[w]_{B_1} = \begin{pmatrix} \frac{21}{11}\\[3pt] \frac{3}{11} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Finalmente, para [w]_{B_2} usamos [T]_{B_1}^{B_2}\,[w]_{B_1}.
\begin{pmatrix} 0 & \tfrac{11}{2}\\[3pt] 1 & -\tfrac{3}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{21}{11}\\[3pt] \frac{3}{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{11}{2}\cdot\frac{3}{11}\\[3pt] \frac{21}{11}-\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2}\\[3pt] \frac{3}{2} \end{pmatrix}.
Isso bate também resolvendo diretamente d_1(1,1)+d_2(1,3)=(3,6).]

Resposta

a) \displaystyle [T]_{B_{2}}^{B_{1}} =\begin{pmatrix}\tfrac{3}{11}&1\\[3pt]\tfrac{2}{11}&0\end{pmatrix}.
b) \displaystyle [T]_{B_{1}}^{B_{2}} =\begin{pmatrix}0&\tfrac{11}{2}\\[3pt]1&-\tfrac{3}{2}\end{pmatrix}.
c) A multiplicação de uma pela outra dá a matriz identidade, logo são inversas.
d) \displaystyle [w]_{B_{1}} =\begin{pmatrix}\tfrac{21}{11}\\[3pt]\tfrac{3}{11}\end{pmatrix}.
e) \displaystyle [w]_{B_{2}} =\begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[3pt]\tfrac{3}{2}\end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados