Questão 3: (13 pts) Dadas as bases B_{1}=\{(1,3),(4,1)\} e B_{2}=\{(1,1),(1,3)\} de, \mathbb{R}^{2}.
a) (3 pts ) A matriz de mudança de base [T]_{B_{2}}^{B_{1}}
Determine:
b ) (3 pts) A matriz de mudança de base [T]_{B_{1}}^{B_{2}}
c) (2 pts) Confirme que [T]_{B_{1}}^{B_{2}} e [T]_{B_{2}}^{B_{1}} são inversas uma da outra.
d) (3 pts ) Seja w=(3,6). ( w na base canônica). Econtre [w]_{B_{1}}.
e) (2 \mathrm{pts}) considere [w]_{B_{1}}. Econtre [w]_{B_{2}}.
Passo 1
O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^2: \displaystyle B_1=\{(1,3),(4,1)\} e \displaystyle B_2=\{(1,1),(1,3)\}.
Queremos achar as matrizes de transição (mudança de base) do endereçamento canônico/identidade, que chamamos aqui de T, de modo que \,[T]_{B_2}^{B_1} leva coordendas em B_2 para B_1, e \,[T]_{B_1}^{B_2} faz o inverso.
Depois confirmamos que são inversas, e então calculamos as coordenadas de w=(3,6) em cada base.
Passo 2
Para obter [T]_{B_2}^{B_1}\) expressamos cada vetor de \(B_2\) em coordenadas da base \(B_1\).
Seja \(\;v_1=(1,1)\). Procuramos \(c_1,c_2\) tais que
\[c_1\,(1,3)+c_2\,(4,1)=(1,1).
Para obter [T]_{B_1}^{B_2} podemos inverter [T]_{B_2}^{B_1} ou expressar diretamente os vetores de B_1 em B_2.
Fazendo inversão da matriz anterior, obtemos
Isso bate também resolvendo diretamente d_1(1,1)+d_2(1,3)=(3,6).]
Resposta
a) \displaystyle [T]_{B_{2}}^{B_{1}}
=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{11}&1\\[3pt]\tfrac{2}{11}&0\end{pmatrix}.
b) \displaystyle [T]_{B_{1}}^{B_{2}}
=\begin{pmatrix}0&\tfrac{11}{2}\\[3pt]1&-\tfrac{3}{2}\end{pmatrix}.
c) A multiplicação de uma pela outra dá a matriz identidade, logo são inversas.
d) \displaystyle [w]_{B_{1}}
=\begin{pmatrix}\tfrac{21}{11}\\[3pt]\tfrac{3}{11}\end{pmatrix}.
e) \displaystyle [w]_{B_{2}}
=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[3pt]\tfrac{3}{2}\end{pmatrix}.]