Considere um meio cuja equação de condução de calor na forma mais simples é
\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial T}{\partial r}\right)=\frac{1}{\alpha} \frac{\partial T}{\partial t}
Há geração de calor no meio?

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2} \frac{\partial T}{\partial r}\right)=\frac{1}{\alpha} \frac{\partial T}{\partial t}
e pergunta se há geração de calor no meio. Vou listar o que está explícito:
  • A equação é escrita em coordenadas esféricas com simetria radial (aparecem só derivadas em r).
  • Está presente a difusividade térmica \alpha (uma constante no enunciado).
  • Não aparece, no lado direito ou esquerdo, nenhum termo aditivo que dependa de r ou t e que represente claramente uma fonte volumétrica de calor.

Passo 2

Explicando o que cada termo representa (aula rápida, sem pânico).
  • T(r,t) é a temperatura, função do raio r e do tempo t.
  • \alpha é a difusividade térmica do material, definida por
\alpha=\frac{k}{\rho c_p},
onde k é a condutividade térmica (W·m{-1}·K{-1}), \rho é a densidade (kg·m^{-3}) e c_p é a capacidade térmica massica (J·kg{-1}·K{-1}).
  • O operador
\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}\frac{\partial T}{\partial r}\right)
é o laplaciano radial em coordenadas esféricas para campos que dependem só de r; ele representa o fluxo difusivo de calor espacial.
  • O termo \frac{1}{\alpha}\frac{\partial T}{\partial t} vem da versão dividida por k da equação de conservação de energia.

Passo 3

Escrevendo a equação geral de condução de calor (com geração volumétrica) e mostrando onde aparece a fonte:
a forma diferencial balanceada, para simetria radial, é
\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t}=k\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}\frac{\partial T}{\partial r}\right)+\dot{q}'''
onde \dot{q}''' é a taxa de geração volumétrica de calor (W·m^{-3}). Essa é uma equação de balanço energia: a taxa de aumento de energia térmica volumétrica \rho c_p \partial T/\partial t é igual ao fluxo condutivo (termo com k) mais a geração interna \dot{q}'''.

Passo 4

Transformando a equação geral para a forma que permite comparar com o enunciado: divido por k e uso \alpha=k/(\rho c_p). Assim
\frac{\rho c_p}{k}\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}\frac{\partial T}{\partial r}\right)+\frac{\dot{q}'''}{k}.
Como \rho c_p/k=1/\alpha, obtemos
\frac{1}{\alpha}\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}\frac{\partial T}{\partial r}\right)+\frac{\dot{q}'''}{k}.
Rearranjando,
\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}\frac{\partial T}{\partial r}\right)=\frac{1}{\alpha}\frac{\partial T}{\partial t}-\frac{\dot{q}'''}{k}.

Passo 5

Comparando a forma geral com a equação dada no enunciado:
  • A equação do enunciado é
\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2} \frac{\partial T}{\partial r}\right)=\frac{1}{\alpha} \frac{\partial T}{\partial t}.
  • A forma geral com geração tem o termo extra -\dfrac{\dot{q}'''}{k} no lado direito da igualdade acima. Para que a equação do enunciado coincida com a forma geral, é necessário que
-\frac{\dot{q}'''}{k}=0\quad\Longrightarrow\quad \dot{q}'''=0.
Portanto não há geração volumétrica de calor no meio.

Passo 6

Interpretação final e dica prática para a prova:
  • Sempre que houver geração volumétrica homogênea ou não, aparece um termo extra additivo (geralmente \dot{q}'''/(\rho c_p) quando se escreve em forma dividida por \rho c_p, ou \dot{q}'''/k na forma que usamos acima). A ausência desse termo indica ausência de geração interna.
  • Conclusão prática: a equação dada é a equação de calor transiente em coordenadas esféricas sem termo fonte — ou seja, sem geração interna de calor. Respira — é mais simples do que parece!

Resposta

Não. Não há geração interna de calor no meio (a taxa de geração volumétrica \dot{q}'''=0).

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