Considere um meio cuja equação de condução de calor na forma mais simples é
Há geração de calor no meio?
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pergunta se há geração de calor no meio. Vou listar o que está explícito:
- A equação é escrita em coordenadas esféricas com simetria radial (aparecem só derivadas em
). - Está presente a difusividade térmica
(uma constante no enunciado). - Não aparece, no lado direito ou esquerdo, nenhum termo aditivo que dependa de
ou e que represente claramente uma fonte volumétrica de calor.
Passo 2
Explicando o que cada termo representa (aula rápida, sem pânico).
-
é a temperatura, função do raio e do tempo . -
é a difusividade térmica do material, definida por
onde
é a condutividade térmica (W·m{-1}·K{-1}),
é a densidade (kg·m^{-3}) e
é a capacidade térmica massica (J·kg{-1}·K{-1}).
- O operador
é o laplaciano radial em coordenadas esféricas para campos que dependem só de
; ele representa o fluxo difusivo de calor espacial.
- O termo
vem da versão dividida por da equação de conservação de energia.
Passo 3
Escrevendo a equação geral de condução de calor (com geração volumétrica) e mostrando onde aparece a fonte:
a forma diferencial balanceada, para simetria radial, é
a forma diferencial balanceada, para simetria radial, é
onde
é a taxa de geração volumétrica de calor (W·m^{-3}). Essa é uma equação de balanço energia: a taxa de aumento de energia térmica volumétrica
é igual ao fluxo condutivo (termo com
) mais a geração interna
Passo 4
Transformando a equação geral para a forma que permite comparar com o enunciado: divido por
e uso
. Assim
Como
, obtemos
Rearranjando,
Passo 5
Comparando a forma geral com a equação dada no enunciado:
- A equação do enunciado é
- A forma geral com geração tem o termo extra
no lado direito da igualdade acima. Para que a equação do enunciado coincida com a forma geral, é necessário que
Portanto não há geração volumétrica de calor no meio.
Passo 6
Interpretação final e dica prática para a prova:
- Sempre que houver geração volumétrica homogênea ou não, aparece um termo extra additivo (geralmente
quando se escreve em forma dividida por , ou na forma que usamos acima). A ausência desse termo indica ausência de geração interna. - Conclusão prática: a equação dada é a equação de calor transiente em coordenadas esféricas sem termo fonte — ou seja, sem geração interna de calor. Respira — é mais simples do que parece!
Resposta
Não. Não há geração interna de calor no meio (a taxa de geração volumétrica
).