Considere o contexto a seguir:
Daniel vai viajar de férias com seus pais e terá direito a escolher pacotes de biscoito para ele e os primos. Ao chegar no mercantil, percebe que só existem cinco marcas e, mesmo assim, escolhe doze pacotes. No carro, fica a pensar de quantas maneiras ele poderia ter escolhido os biscoitos. Considerando que não há nenhuma restrição quanto à quantidade de pacotes de cada marca, o número de maneiras possíveis de escolher os biscoitos é:

Passo 1

O enunciado diz que Daniel escolhe 12 pacotes de biscoito entre 5 marcas, sem limite de quantos pacotes de cada marca. O conteúdo envolvido é combinação com repetição, também conhecido como “stars and bars”.

Passo 2

Na técnica de stars and bars, pensamos em representar cada pacote por uma “estrela” e colocar “barras” para separar as marcas. Como há 5 marcas, precisamos de 5-1=4 barras. No total, teremos 12 estrelas e 4 barras, somando 12+4=16 símbolos, dos quais escolhemos as posições das estrelas (ou das barras).

Passo 3

A fórmula geral para escolher k itens entre n tipos com repetição é
\binom{n + k - 1}{k}.
Aqui temos n=5 e k=12, logo
\binom{5 + 12 - 1}{12} = \binom{16}{12}.

Passo 4

Calculando a combinação:
\binom{16}{12} \;=\;\binom{16}{4} \;=\;\frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \;=\;\frac{43680}{24} \;=\;1820.

Resposta

1820

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