[ \mathbf{2} pontos] A dureza H de uma peça de aço (avaliada na escala Rockwell) pode-se supor ser uma variável aleatória contínua uniformemente distribuída sobre o intervalo [40, 80].
a) Encontre a distribuição de probabilidade.
b) Calcule P(H>50).

Passo 1

O enunciado diz que a dureza H é uma variável aleatória contínua com distribuição uniforme no intervalo [40,80]. O conteúdo é distribuição uniforme contínua, cuja densidade é constante no intervalo de definição e zero fora.

Passo 2

Para uma variável contínua H\) uniformemente distribuída em \([a,b]\), a densidade de probabilidade é \[f_H(h)= \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{b-a},&a\le h\le b,\\[1em] 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}
Aqui a=40\] e \(b=80, logo
f_H(h)= \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{80-40}=\frac{1}{40},&40\le h\le 80,\\[0.5em] 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}á]

Passo 3

Queremos P(H>50). Para distribuição contínua uniforme,
P(H>50)=\int_{50}^{80}f_H(h)\,dh =\int_{50}^{80}\frac{1}{40}\,dh =\frac{80-50}{40} =\frac{30}{40} =\frac{3}{4}.

Resposta

a)
f_H(h)= \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{40},&40\le h\le 80,\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}á
b)
P(H>50)=\frac{3}{4}.

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