Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente ou divergente. E calcule aquelas que convergem.
(i) integral0^infty s e^-5 s d s

Passo 1

A questão pede para analisar a convergência da integral imprópria
integral0^infty s,e^-5s ,ds
do conteúdo de integrais impróprias, e calcular seu valor caso convirja. Vamos usar integração por partes para resolver.

Passo 2

Para verificar a convergência, note que quando stoinfty, o termo exponencial e^-5s domina e faz o integrando decair rapidamente a zero. No ponto s=0 não há singularidade, pois s e^-5s é contínuo. Logo a integral converge.

Passo 3

Para calcular, aplicamos integração por partes. Seja u = s e dv = e^-5s ds. Então du = ds e
v = integral e^-5s ds = -15 e^-5s
Pela fórmula integral u,dv = uv - integral v,du, temos
integral0^infty s e^-5s ds = -s5 e^-5s |0^infty - integral0^infty l(-15 e^-5sr) ds

Passo 4

Avaliando os limites, o termo -s5 e^-5s |0^infty vai a zero em ambas as extremidades. Resta
integral0^infty s e^-5s ds = 15 integral0^infty e^-5s ds = 15 l(-15 e^-5sr) |0^infty = 15 cdot 15 = 125

Resposta

A integral é convergente e vale 125.

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