Sabe-se que a expansão de
em série de Fourier de cossenos resulta em
Podemos afirmar que
vale:
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das alternativas anteriores apresenta o valor correto da soma.
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das alternativas anteriores apresenta o valor correto da soma.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
definida no intervalo
e sua expansão em série de Fourier usando cossenos, que é dada por:
A pergunta quer saber o valor da soma infinita:
Para resolver isso, vamos usar propriedades das séries de Fourier e avaliar a série em um ponto específico que facilite o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos avaliar a expressão da série de Fourier
em um ponto conveniente. Um bom candidato é
, porque os termos com cosseno simplificam.
Substituindo
na série:
Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
. Por definição da série de Fourier de cossenos,
é a representação de
em termos de cossenos. Mas
, então:
Substituindo isso na equação anterior:
Passo 4
Vamos isolar a soma para facilitar:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a soma de
. Para isso, diferenciamos ambos os lados da equação anterior em relação a alguma variável adequada ou usamos identidades de séries conhecidas. Neste caso, sabemos que:
Resposta
A soma
vale
. Portanto, a alternativa correta é:
c)