Sabe-se que a expansão de f(x)=sen(x), 0 em série de Fourier de cossenos resulta em
fcos (x)=2pi-sumn=1^infty 4pi(4 n^2-1) cos (2 n x)
Podemos afirmar que sumn=1^infty 1(4 n^2-1)^2 vale:
a) 12
b) 14
c) pi^2-816
d) 4pi^2
e) Nenhuma das alternativas anteriores apresenta o valor correto da soma.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função fcos(x) = 2pi - sumn=1^infty 4pi(4n^2 - 1) cos(2nx) definida no intervalo sumn=1^infty 1(4n^2 - 1)^2 e sua expansão em série de Fourier usando cossenos, que é dada por:
A pergunta quer saber o valor da soma infinita:
Para resolver isso, vamos usar propriedades das séries de Fourier e avaliar a série em um ponto específico que facilite o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos avaliar a expressão da série de Fourier fcos(0) = 2pi - sumn=1^infty 4pi(4n^2 - 1) cos(0) em um ponto conveniente. Um bom candidato é fcos(0) = 2pi - sumn=1^infty 4pi(4n^2 - 1) , porque os termos com cosseno simplificam.
Substituindo na série:
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar fcos(0) = 0 . Por definição da série de Fourier de cossenos, 0 = 2pi - sumn=1^infty 4pi(4n^2 - 1) é a representação de em termos de cossenos. Mas , então:
Substituindo isso na equação anterior:

Passo 4

Vamos isolar a soma para facilitar:
sumn=1^infty 4pi(4n^2 - 1) = 2pi
Multiplicando ambos os lados por sumn=1^infty 44n^2 - 1 = 2 :
sumn=1^infty 14n^2 - 1 = 12
Simplificando:

Passo 5

Agora, queremos encontrar a soma de sumn=1^infty 1(4n^2 - 1)^2 = pi^2 - 816 . Para isso, diferenciamos ambos os lados da equação anterior em relação a alguma variável adequada ou usamos identidades de séries conhecidas. Neste caso, sabemos que:

Resposta

A soma vale . Portanto, a alternativa correta é:
c)

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