Considere a convolução das funções f(t)=t e g(t)=t^3+1.
Assinale a alternativa correta:
a) f(t) * g(t)=0
b) f(t) * g(t)=t^2(t^3+10)20
c) f(t) * g(t)=t^2(t^3+10)2
d) f(t) * g(t)=s^3+6s^6
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a convolução das funções e . Para isso, vamos usar o conceito de convolução, que basicamente combina duas funções para formar uma terceira. Vamos precisar integrar o produto dessas funções de uma forma específica para achar a resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da convolução de duas funções (f * g)(t) = integral0^t f(tau) cdot g(t - tau) , dtau e :
Aqui, é uma variável de integração que vai de 0 até .

Passo 3

Agora, vamos substituir as funções (f * g)(t) = integral0^t tau cdot ( (t - tau)^3 + 1 ) , dtau e (t - tau)^3 = t^3 - 3t^2tau + 3ttau^2 - tau^3 na fórmula:
tau cdot ( t^3 - 3t^2tau + 3ttau^2 - tau^3 + 1 )
Vamos expandir usando a identidade do binômio:
Então, a expressão dentro da integral fica:

Passo 4

Vamos distribuir o tau cdot t^3 - 3t^2tau^2 + 3ttau^3 - tau^4 + tau dentro do parênteses:
integral0^t tau t^3 , dtau = t^3 cdot t^22 = t^52
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral0^t -3t^2tau^2 , dtau = -3t^2 cdot t^33 = -t^5
integral0^t 3ttau^3 , dtau = 3t cdot t^44 = 3t^54
integral0^t -tau^4 , dtau = -t^55
integral0^t tau , dtau = t^22

Passo 5

Vamos somar todos esses resultados:
t^52 - t^5 + 3t^54 - t^55 + t^22
Vamos combinar os termos com ( 12 - 1 + 34 - 15 ) t^5 + t^22 :
1020 - 2020 + 1520 - 420 = 120
Calculando os coeficientes:
t^520 + t^22
Então, a expressão fica:
t^2 (t^3 + 10)20
Fatorando :

Resposta

A alternativa correta é a letra b):
f(t) * g(t) = t^2(t^3+10)20

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