Considere a convolução das funções
e
.
Assinale a alternativa correta:
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
Assinale a alternativa correta:
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a convolução das funções
e
. Para isso, vamos usar o conceito de convolução, que basicamente combina duas funções para formar uma terceira. Vamos precisar integrar o produto dessas funções de uma forma específica para achar a resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da convolução de duas funções
e
:
Aqui,
é uma variável de integração que vai de 0 até
.
Passo 3
Agora, vamos substituir as funções
e
na fórmula:
Vamos expandir
usando a identidade do binômio:
Então, a expressão dentro da integral fica:
Passo 4
Vamos distribuir o
dentro do parênteses:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 5
Vamos somar todos esses resultados:
Vamos combinar os termos com
:
Calculando os coeficientes:
Então, a expressão fica:
Fatorando
:
Resposta
A alternativa correta é a letra b):