Considere a seguinte definição:
Definição 1. Um polo de uma função racional é um valor de
tal que o denominador da função se anula, e a função apresenta um comportamento singular (tende ao infinito) nas proximidades desse valor.
Por exemplo, a função
tem um polo em
.
Considere a transformada de Laplace de
da função
. Assinale a alternativa correta:
a)
são polos de
.
b)
possui somente polos reais.
c)
possui somente polos complexos.
d)
não possui polos reais ou complexos.
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
Definição 1. Um polo de uma função racional é um valor de
Por exemplo, a função
Considere a transformada de Laplace de
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar os polos da transformada de Laplace de uma função específica:
. Basicamente, precisamos identificar quais valores de
fazem o denominador da transformada ser zero, o que indica um comportamento infinito (polo). Vamos usar conceitos de transformada de Laplace e análise de polos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela transforma uma função no tempo
em uma função no domínio complexo
. A gente vai aplicar essa transformada na nossa função
.
Passo 3
Vamos separar
em duas partes para facilitar:
Vamos transformar cada uma separadamente.
Passo 4
Para a primeira parte,
, usamos a propriedade de deslocamento da transformada de Laplace. Se
, então
.
Então, temos:
- Transformada de
é - Transformada de
é
Aplicando o deslocamento com
:
Passo 5
Para a segunda parte,
, a transformada é:
Passo 6
Agora, juntando as duas partes, a transformada completa
é:
Passo 7
Para encontrar os polos, precisamos identificar os valores de
que fazem os denominadores serem zero:
-
⇒ -
⇒ ⇒ -
⇒
Passo 8
Analisando os polos encontrados:
-
é um polo real. -
são polos complexos. -
são polos puramente imaginários (complexos).
Passo 9
Agora, vamos conferir as alternativas:
a)
são polos de
. Verdadeiro.
b)
possui somente polos reais. Falso, tem polos complexos também.
c)
possui somente polos complexos. Falso, tem um polo real.
d)
não possui polos reais ou complexos. Falso.
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta. Falso.
Resposta
a)
são polos de
.