Considere a seguinte definição:
Definição 1. Um polo de uma função racional é um valor de s tal que o denominador da função se anula, e a função apresenta um comportamento singular (tende ao infinito) nas proximidades desse valor.
Por exemplo, a função F(s)=1s-3 tem um polo em s=3.
Considere a transformada de Laplace de barf(s) da função f(t)=(t^2-sen(t)) e^-t+cos (2 t), t >= 0. Assinale a alternativa correta:
a) s= pm 2 i são polos de barf(s).
b) barf(s) possui somente polos reais.
c) barf(s) possui somente polos complexos.
d) barf(s) não possui polos reais ou complexos.
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar os polos da transformada de Laplace de uma função específica: . Basicamente, precisamos identificar quais valores de fazem o denominador da transformada ser zero, o que indica um comportamento infinito (polo). Vamos usar conceitos de transformada de Laplace e análise de polos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela transforma uma função no tempo em uma função no domínio complexo . A gente vai aplicar essa transformada na nossa função .

Passo 3

Vamos separar em duas partes para facilitar:
Vamos transformar cada uma separadamente.

Passo 4

Para a primeira parte, L(t^2 - sin(t)) e^-t = 2(s + 1)^3 - 1(s + 1)^2 + 1 , usamos a propriedade de deslocamento da transformada de Laplace. Se , então .
Então, temos:
  • Transformada de é
  • Transformada de é
Aplicando o deslocamento com :

Passo 5

Para a segunda parte, Lcos(2t) = ss^2 + 4 , a transformada é:

Passo 6

Agora, juntando as duas partes, a transformada completa barf(s) = 2(s + 1)^3 - 1(s + 1)^2 + 1 + ss^2 + 4 é:

Passo 7

Para encontrar os polos, precisamos identificar os valores de que fazem os denominadores serem zero:

Passo 8

Analisando os polos encontrados:
  • é um polo real.
  • são polos complexos.
  • são polos puramente imaginários (complexos).

Passo 9

Agora, vamos conferir as alternativas:
a) são polos de . Verdadeiro.
b) possui somente polos reais. Falso, tem polos complexos também.
c) possui somente polos complexos. Falso, tem um polo real.
d) não possui polos reais ou complexos. Falso.
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta. Falso.

Resposta

a) são polos de .

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