Considere a copa de uma árvore com formato esférico. O raio da copa é 3 m . Deduzir a fórmula do volume de uma esfera e calcular o volume da copa.
Passo 1
O enunciado pede o volume de uma copa de árvore modelada por uma esfera de raio 3 m. Vamos deduzir a fórmula do volume de uma esfera usando cálculo de volumes por revolução e depois aplicar com R=3 m.
Passo 2
Para deduzir a fórmula, pensamos numa semicircunferência de raio R descrita pela equação
. Se girarmos essa curva em torno do eixo x, cada fatia fina em x gera um disco de raio
e espessura
, cuja área é
.
Passo 3
Expressamos o volume como integral dos discos de x=−R até x=R:
Como
Passo 4
Calculamos a integral:
Logo,
Passo 5
Agora aplicamos R = 3 m:
Em valor aproximado,
Resposta
O volume da copa é
, ou aproximadamente
.