Considere a copa de uma árvore com formato esférico. O raio da copa é 3 m . Deduzir a fórmula do volume de uma esfera e calcular o volume da copa.

Passo 1

O enunciado pede o volume de uma copa de árvore modelada por uma esfera de raio 3 m. Vamos deduzir a fórmula do volume de uma esfera usando cálculo de volumes por revolução e depois aplicar com R=3 m.

Passo 2

Para deduzir a fórmula, pensamos numa semicircunferência de raio R descrita pela equação x^2 + y^2 = R^2. Se girarmos essa curva em torno do eixo x, cada fatia fina em x gera um disco de raio y e espessura dx, cuja área é pi y^2.

Passo 3

Expressamos o volume como integral dos discos de x=−R até x=R:
V = integral-R^R pi y^2 ,dx
Como y^2 = R^2 - x^2, substituímos:
V = pi integral-R^R (R^2 - x^2) ,dx

Passo 4

Calculamos a integral:
integral-R^R (R^2 - x^2) ,dx = [R^2 x - x^33]-R^R = ( R^3 - R^33 ) - ( -R^3 + R^33 ) = 2R^3 - 2R^33 = 4R^33
Logo,
V = pi cdot 4R^33 = 43pi R^3

Passo 5

Agora aplicamos R = 3 m:
V = 43pi (3)^3 = 43pi cdot 27 = 36pi
Em valor aproximado, 36pi approx 113,10.

Resposta

O volume da copa é V = 36pi m^3, ou aproximadamente 113,1 m^3.

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