A função demanda mensal de um produto é
, e a função custo mensal é
. Obtenha o valor que maximiza o lucro e o lucro máximo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de demanda mensal $ p(x) = 40 - 0,1x $ e uma função de custo mensal $ C(x) = \frac{x^{3}}{3} - 7x^{2} + 60x + 50 $. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ x $ que maximiza o lucro e também o valor desse lucro máximo. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para achar o ponto onde o lucro é máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que lucro é igual à receita menos o custo. A receita $ R(x) $ é o preço multiplicado pela quantidade vendida, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos escrever a função lucro $ L(x) $:
Vamos simplificar isso:
Passo 4
Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza o lucro, precisamos derivar $ L(x) $ em relação a $ x $ e igualar a derivada a zero. Vamos fazer isso:
Agora, igualamos a derivada a zero:
Passo 5
Resolvendo essa equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Obtemos duas soluções:
Vamos considerar $ x \approx 12,16 $ como o valor que maximiza o lucro.
Passo 6
Agora, vamos calcular o lucro máximo substituindo $ x \approx 12,16 $ na função $ L(x) $:
Calculando cada parte:
Resposta
O valor que maximiza o lucro é aproximadamente $ 12,16 $ unidades e o lucro máximo é de aproximadamente R$ 130,40.