A função demanda mensal de um produto é p(x)=40-0,1 x, e a função custo mensal é C(x)=x^33-7 x^2+60 x+50. Obtenha o valor que maximiza o lucro e o lucro máximo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de demanda mensal $ p(x) = 40 - 0,1x $ e uma função de custo mensal $ C(x) = \frac{x^{3}}{3} - 7x^{2} + 60x + 50 $. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ x $ que maximiza o lucro e também o valor desse lucro máximo. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para achar o ponto onde o lucro é máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que lucro é igual à receita menos o custo. A receita $ R(x) $ é o preço multiplicado pela quantidade vendida, ou seja:
R(x)

Passo 3

Agora, vamos escrever a função lucro $ L(x) $:
L(x)
Vamos simplificar isso:
L(x) = R(x) - C(x) = (40x - 0,1x^2) - ( x^33 - 7x^2 + 60x + 50 )
L(x) = 40x - 0,1x^2 - x^33 + 7x^2 - 60x - 50

Passo 4

Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza o lucro, precisamos derivar $ L(x) $ em relação a $ x $ e igualar a derivada a zero. Vamos fazer isso:
x
Agora, igualamos a derivada a zero:
L(x)

Passo 5

Resolvendo essa equação quadrática:
x^2 - 13,8x + 20 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = 13,8 pm raiz(13,8)^2 - 4 times 1 times 202
x = 13,8 pm raiz190,44 - 802
x = 13,8 pm raiz110,442
x = 13,8 pm 10,512
Obtemos duas soluções:
x approx 13,8 + 10,512 approx 12,16
x approx 13,8 - 10,512 approx 1,65
Vamos considerar $ x \approx 12,16 $ como o valor que maximiza o lucro.

Passo 6

Agora, vamos calcular o lucro máximo substituindo $ x \approx 12,16 $ na função $ L(x) $:
x approx 12,16
Calculando cada parte:
L(x)
L(12,16) = -(12,16)^33 + 6,9(12,16)^2 - 20(12,16) - 50
-1790,13 + 6,9 times 147,84 - 243,2 - 50

Resposta

O valor que maximiza o lucro é aproximadamente $ 12,16 $ unidades e o lucro máximo é de aproximadamente R$ 130,40.

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