Questâo
Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, determine a área da região
englobada pelas curvas
e
;
englobada pelas curvas
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar a área da região entre as curvas $ y = x^{2} $ e $ y = x + 6 $. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que basicamente nos ajuda a calcular áreas usando integrais. Para isso, precisamos descobrir onde as duas curvas se cruzam e depois integrar a diferença delas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Isso acontece quando $ x^{2} = x + 6 $. Vamos resolver essa equação para achar os valores de $ x $ onde isso ocorre.
Passo 3
Resolvendo a equação $ x^{2} = x + 6 $, vamos rearranjar os termos:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -1 $ e $ c = -6 $.
Passo 4
Aplicando os valores na fórmula:
Então, temos:
Portanto, as curvas se cruzam nos pontos $ x = -2 $ e $ x = 3 $.
Passo 5
Agora, precisamos saber qual das funções está acima da outra nesse intervalo. Vamos testar um valor de $ x $ entre -2 e 3, por exemplo, $ x = 0 $:
Vemos que $ y = x + 6 $ está acima de $ y = x^{2} $ nesse intervalo.
Passo 6
A área entre as curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo, de $ x = -2 $ a $ x = 3 $. Então:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos de $ x = -2 $ a $ x = 3 $:
Calculando cada parte:
Para $ x = 3 $:
Para $ x = 3 $:
Para $ x = -2 $:
Subtraindo:
Portanto, a área é $ \frac{125}{6} $ unidades quadradas.
Resposta
A área da região englobada pelas curvas $ y = x^{2} $ e $ y = x + 6 $ é $ \frac{125}{6} $ unidades quadradas.