Questâo 4 (2,0) Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, determine a área da região
englobada pelas curvas y=x^2 e y=x+6;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar a área da região entre as curvas $ y = x^{2} $ e $ y = x + 6 $. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que basicamente nos ajuda a calcular áreas usando integrais. Para isso, precisamos descobrir onde as duas curvas se cruzam e depois integrar a diferença delas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Isso acontece quando $ x^{2} = x + 6 $. Vamos resolver essa equação para achar os valores de $ x $ onde isso ocorre.

Passo 3

Resolvendo a equação $ x^{2} = x + 6 $, vamos rearranjar os termos:
x^2 = x + 6
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
x^2 - x - 6 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -1 $ e $ c = -6 $.

Passo 4

Aplicando os valores na fórmula:
x = -(-1) pm raiz(-1)^2 - 4 cdot 1 cdot (-6)2 cdot 1 = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm raiz252
raiz25 = 5
Então, temos:
x = 1 + 52 = 3 e x = 1 - 52 = -2
Portanto, as curvas se cruzam nos pontos $ x = -2 $ e $ x = 3 $.

Passo 5

Agora, precisamos saber qual das funções está acima da outra nesse intervalo. Vamos testar um valor de $ x $ entre -2 e 3, por exemplo, $ x = 0 $:
x
x = 0
Vemos que $ y = x + 6 $ está acima de $ y = x^{2} $ nesse intervalo.

Passo 6

A área entre as curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo, de $ x = -2 $ a $ x = 3 $. Então:
x = -2 Á

Passo 7

Vamos calcular a integral:
integral (-x^2 + x + 6) dx = -x^33 + x^22 + 6x
Agora, avaliamos de $ x = -2 $ a $ x = 3 $:
x = -2
Calculando cada parte:
Para $ x = 3 $:
x = 3
Para $ x = -2 $:
[ -3^33 + 3^22 + 6 cdot 3 ] - [ -(-2)^33 + (-2)^22 + 6 cdot (-2) ]
Subtraindo:
x = 3
Portanto, a área é $ \frac{125}{6} $ unidades quadradas.

Resposta

A área da região englobada pelas curvas $ y = x^{2} $ e $ y = x + 6 $ é $ \frac{125}{6} $ unidades quadradas.

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