Seja V o volume de um cilindro de raio r e altura h, cuja fórmula é V=pi r^2 h, e suponha que r e h variem com relação ao tempo t.
Em um certo instante de tempo, o raio é 4 cm e está decrescendo a uma taxa de 2 cm / s. e a altura é 4 cm e está crescendo a uma taxa de 3 cm / s Com que rapidez o volume está variando naquele instante de tempo?

Passo 1

Temos um cilindro cujo volume é V=pi r^2 h, e as variáveis r e h dependem do tempo t. No instante em que r=4 cm e h=4 cm, sabemos que drdt=-2 cm/s e dhdt=3 cm/s. O conteúdo aqui é taxas relacionadas, e vamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Diferenciando em relação a t com a regra do produto e cadeia, obtemos:
dVdt = pil(2rdrdtcdot h + r^2dhdtr)
Explicando: derivamos r^2 como 2rdrdt mantendo h, e depois derivamos h como dhdt mantendo r^2.

Passo 3

Substituindo os valores do instante: r=4, h=4, drdt=-2, dhdt=3. Temos:
dVdt = pil(2cdot4cdot(-2)cdot4 + 4^2cdot3r) = pi(-64 + 48) = -16pi

Resposta

-16\pi cm^3/s

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