Seja
o volume de um cilindro de raio
e altura
, cuja fórmula é
, e suponha que
e
variem com relação ao tempo
.
Em um certo instante de tempo, o raio é 4 cm e está decrescendo a uma taxa de
. e a altura é 4 cm e está crescendo a uma taxa de
Com que rapidez o volume está variando naquele instante de tempo?
Em um certo instante de tempo, o raio é 4 cm e está decrescendo a uma taxa de
Passo 1
Temos um cilindro cujo volume é
, e as variáveis
e
dependem do tempo
. No instante em que
cm e
cm, sabemos que
cm/s e
cm/s. O conteúdo aqui é taxas relacionadas, e vamos usar a regra da cadeia.
Passo 2
Diferenciando em relação a
com a regra do produto e cadeia, obtemos:
Explicando: derivamos
como
mantendo
, e depois derivamos
como
mantendo
.
Passo 3
Substituindo os valores do instante:
,
,
,
. Temos:
Resposta
-16\pi cm^3/s