Questão 1: Em cada problema a seguir, determinar se o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação diferencial parcial dada por um par de equações diferenciais ordinárias. Se for possível, achar as equações (não é necessário resolvê-las):
ux x+ut=t

Passo 1

O enunciado pede para verificar se dá para usar o método de separação de variáveis na equação
uxx+ut=t
em que queremos testar uma solução da forma u(x,t)=X(x),T(t). Vamos precisar dos conceitos de derivadas parciais e da ideia de separar as variáveis em funções que dependem apenas de x e apenas de t.

Passo 2

Assumimos u(x,t)=X(x)T(t). Então
uxx=X''(x),T(t),
ut=X(x),T'(t)
Substituindo na PDE original temos
X''(x)T(t)+X(x)T'(t)=t

Passo 3

Para testar a separação, dividimos ambos os lados por X(x)T(t), obtendo
X''(x)X(x)+T'(t)T(t)=tX(x)T(t)
No método de separação, o lado esquerdo é soma de função só de x com função só de t, mas o lado direito mistura x e t. Para poder separar variáveis, o lado direito teria que ser constante ou função única de x ou de t, o que não acontece aqui.

Passo 4

Como a presença do termo não homogêneo t impede que a equação se escreva como soma de uma função de x mais uma de t igual a uma constante, concluímos que não é possível aplicar diretamente o método de separação de variáveis nesta EDP.

Resposta

Não é possível aplicar o método de separação de variáveis diretamente à equação uxx+ut=t.

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