Considere uma barra de comprimento igual a 10. A seguinte equação diferencial representa a propagação de calor nessa barra:
36 ux x=ut
Quando a barra atinge equilíbrio térmico nessas condições (considere que esse instante é convencionado como t=0 ) a extremidade x=0 da barra passa a ter sua temperatura fixada em u(0, t)=10, e a extremidade x= 10 passa a ter sua temperatura fixada em u(10, t)=-10. Determine a temperatura no ponto x=1 da barra no instante t=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como o calor se propaga ao longo de uma barra de 10 unidades de comprimento. A equação que descreve isso é uma equação diferencial parcial conhecida como Equação do Calor:
36 uxx = ut
Aqui, $ u(x, t) $ representa a temperatura na posição $ x $ e no tempo $ t $. Precisamos descobrir qual é a temperatura no ponto $ x = 1 $ no tempo $ t = 1 u(x, t) x = 0 $ e $ x = 10 $) as temperaturas estão fixadas em 10 e -10, respectivamente. Para resolver isso, vamos usar métodos de resolução de equações de calor com condições de contorno fixas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
36 uxx = ut
Isso significa que a segunda derivada de $ u $ em relação a $ x $ (representando como a temperatura varia ao longo da barra) multiplicada por 36 é igual à primeira derivada de $ u $ em relação a $ t $ (representando como a temperatura muda ao longo do tempo).

Passo 3

Vamos começar separando as variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de $ x $ e outra que depende apenas de $ t $:
x
Substituindo isso na equação original:
t
Dividindo ambos os lados por $ X(x) T(t) $:
u(x, t) = X(x) T(t)
Aqui, $ \lambda $ é uma constante de separação.

Passo 4

Agora, temos duas equações separadas:
  1. Para $ X(x) $:
X(x)
  1. Para $ T(t) $:
36 X''(x) + lambda X(x) = 0

Passo 5

Primeiro, vamos resolver a equação para $ X(x) $:
X(x)
Isso é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Suas soluções gerais dependem do valor de $ \lambda $. Para que as soluções sejam não-triviais, $ \lambda $ deve ser tal que satisfaça as condições de contorno.

Passo 6

As condições de contorno são:
u(0, t) = 10 e u(10, t) = -10
Como estamos resolvendo o problema homogêneo (sem fontes externas), na verdade, precisamos ajustar nossa abordagem para incluir as condições de contorno não-homogêneas.

Passo 7

Para facilitar, podemos dividir a solução em duas partes: uma solução estacionária $ u_s(x) $ que satisfaz as condições de contorno e outra solução transitória $ u_t(x, t) $ que satisfaz a equação de calor com condições de contorno homogêneas (zero).
Então, temos:
us(x)

Passo 8

Primeiro, encontramos $ u_s(x) $ que satisfaz:
us(x)
Integrando duas vezes:
36 us''(x) = 0
Usando as condições de contorno:
us(x) = A x + B
us(0) = B = 10
Então:
us(10) = 10 A + B = -10 Rightarrow 10 A + 10 = -10 Rightarrow A = -2

Passo 9

Agora, precisamos resolver para $ u_t(x, t) $ que satisfaz:
ut(x, t)
com condições de contorno:
36 ut''(x) = ut'(t)
E iguais a zero nos extremos inicialmente.

Passo 10

Usamos separação de variáveis para $ u_t(x, t) = X(x) T(t) $:
ut(x, t) = X(x) T(t)
Dividindo novamente por $ X(x) T(t) $:
36 X''(x) T(t) = X(x) T'(t)

Passo 11

Resolvemos as duas equações separadamente:
  1. Para $ X(x) $:
X(x)
  1. Para $ T(t) $:
36 X''(x) + lambda X(x) = 0

Passo 12

A solução para $ X(x) $ com condições de contorno homogêneas é:
X(x)
onde $ n $ é um número inteiro positivo.

Passo 13

A solução para $ T(t) $ é:
T(t)

Passo 14

Portanto, a solução geral para $ u_t(x, t) $ é uma soma infinita das soluções separadas:
ut(x, t)
Os coeficientes $ C_n $ são determinados pelas condições iniciais.

Passo 15

No instante $ t = 0 $, a barra está em equilíbrio térmico, então:
t = 0
Assumindo que a condição inicial coincide com $ u_s(x) $, temos que $ u_t(x, 0) = 0 $, o que implica que todos os $ C_n = 0 $. Mas isso não nos ajuda a encontrar uma solução dinâmica.

Passo 16

Vamos então considerar que a condição inicial é diferente de $ u_s(x) $. Por simplicidade, assumimos uma perturbação inicial e mantemos apenas o primeiro termo da série para aproximar a solução. Portanto:
us(x)

Passo 17

Finalmente, somando a parte estacionária e a transitória, temos:
u(x, t) = -2x + 10 + C1 sin(pi x10) e^- 36 pi^2100 t

Passo 18

Para determinar $ C_1 $, precisaríamos da condição inicial específica. No entanto, como o problema não fornece essa condição, assumimos que a contribuição transitória é mínima após um certo tempo, especialmente em $ t = 1 $. Assim, podemos aproximar:
C1

Resposta

A temperatura no ponto $ x = 1 $ no instante $ t = 1 $ é aproximadamente 8 unidades de temperatura.

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