Considere uma barra de comprimento igual a 10. A seguinte equação diferencial representa a propagação de calor nessa barra:
Quando a barra atinge equilíbrio térmico nessas condições (considere que esse instante é convencionado como
) a extremidade
da barra passa a ter sua temperatura fixada em
, e a extremidade
10 passa a ter sua temperatura fixada em
. Determine a temperatura no ponto
da barra no instante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como o calor se propaga ao longo de uma barra de 10 unidades de comprimento. A equação que descreve isso é uma equação diferencial parcial conhecida como Equação do Calor:
Aqui, $ u(x, t) $ representa a temperatura na posição $ x $ e no tempo $ t $. Precisamos descobrir qual é a temperatura no ponto $ x = 1 $ no tempo $ t = 1
x = 0 $ e $ x = 10 $) as temperaturas estão fixadas em 10 e -10, respectivamente. Para resolver isso, vamos usar métodos de resolução de equações de calor com condições de contorno fixas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Isso significa que a segunda derivada de $ u $ em relação a $ x $ (representando como a temperatura varia ao longo da barra) multiplicada por 36 é igual à primeira derivada de $ u $ em relação a $ t $ (representando como a temperatura muda ao longo do tempo).
Passo 3
Vamos começar separando as variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de $ x $ e outra que depende apenas de $ t $:
Substituindo isso na equação original:
Dividindo ambos os lados por $ X(x) T(t) $:
Aqui, $ \lambda $ é uma constante de separação.
Passo 4
Agora, temos duas equações separadas:
- Para $ X(x) $:
- Para $ T(t) $:
Passo 5
Primeiro, vamos resolver a equação para $ X(x) $:
Isso é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Suas soluções gerais dependem do valor de $ \lambda $. Para que as soluções sejam não-triviais, $ \lambda $ deve ser tal que satisfaça as condições de contorno.
Passo 6
As condições de contorno são:
Como estamos resolvendo o problema homogêneo (sem fontes externas), na verdade, precisamos ajustar nossa abordagem para incluir as condições de contorno não-homogêneas.
Passo 7
Para facilitar, podemos dividir a solução em duas partes: uma solução estacionária $ u_s(x) $ que satisfaz as condições de contorno e outra solução transitória $ u_t(x, t) $ que satisfaz a equação de calor com condições de contorno homogêneas (zero).
Então, temos:
Passo 8
Primeiro, encontramos $ u_s(x) $ que satisfaz:
Integrando duas vezes:
Usando as condições de contorno:
Então:
Passo 9
Agora, precisamos resolver para $ u_t(x, t) $ que satisfaz:
com condições de contorno:
E iguais a zero nos extremos inicialmente.
Passo 10
Usamos separação de variáveis para $ u_t(x, t) = X(x) T(t) $:
Dividindo novamente por $ X(x) T(t) $:
Passo 11
Resolvemos as duas equações separadamente:
- Para $ X(x) $:
- Para $ T(t) $:
Passo 12
A solução para $ X(x) $ com condições de contorno homogêneas é:
onde $ n $ é um número inteiro positivo.
Passo 13
A solução para $ T(t) $ é:
Passo 14
Portanto, a solução geral para $ u_t(x, t) $ é uma soma infinita das soluções separadas:
Os coeficientes $ C_n $ são determinados pelas condições iniciais.
Passo 15
No instante $ t = 0 $, a barra está em equilíbrio térmico, então:
Assumindo que a condição inicial coincide com $ u_s(x) $, temos que $ u_t(x, 0) = 0 $, o que implica que todos os $ C_n = 0 $. Mas isso não nos ajuda a encontrar uma solução dinâmica.
Passo 16
Vamos então considerar que a condição inicial é diferente de $ u_s(x) $. Por simplicidade, assumimos uma perturbação inicial e mantemos apenas o primeiro termo da série para aproximar a solução. Portanto:
Passo 17
Finalmente, somando a parte estacionária e a transitória, temos:
Passo 18
Para determinar $ C_1 $, precisaríamos da condição inicial específica. No entanto, como o problema não fornece essa condição, assumimos que a contribuição transitória é mínima após um certo tempo, especialmente em $ t = 1 $. Assim, podemos aproximar:
Resposta
A temperatura no ponto $ x = 1 $ no instante $ t = 1 $ é aproximadamente 8 unidades de temperatura.