Considere uma corda elástica de comprimento

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de vibração de uma corda elástica de comprimento
com condição de contorno homogênea , velocidade inicial nula e deslocamento inicial
á
O objetivo de (a) é encontrar a solução e .

Passo 2

Usamos separação de variáveis e a condição de contorno fixa para escrever a solução como série
u(x,t)=sumn=1^inftyl(Ancosl(tfracnpi aLtr)+Bnsinl(tfracnpi aLtr)r)sinl(tfracnpiLxr)
Da condição ut(x,0)=0 segue Bn=0, e da condição u(x,0)=f(x) obtemos
An=2Lintegral0^Lf(x),sin!l(tfracnpiLxr),dx

Passo 3

Para o f(x) dado, a integral não nula ocorre apenas em l[tfracL2-1,tfracL2+1r]. Com u=tfracnpiLx temos
integralL/2-1^L/2+1sin!l(tfracnpiLxr),dx =Lnpil[cos!l(tfracnpiL(L/2-1)r) -cos!l(tfracnpiL(L/2+1)r)r]
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An=2LcdotLnpi l[cos!l(tfracnpi2-tfracnpiLr) -cos!l(tfracnpi2+tfracnpiLr)r] =4npisin!l(tfracnpi2r),sin!l(tfracnpiLr)

Passo 4

Substituindo em u(x,t) e tomando L=10 e a=1,
u(x,t) =sumn=1^inftyAncos!l(tfracnpi10tr),sin!l(tfracnpi10xr),
onde
An=4npisin!l(tfracnpi2r),sin!l(tfracnpi10r)

Passo 5

Portanto a solução fica
u(x,t) =sumn=1^infty 4npi,sin!l(tfracnpi2r),sin!l(tfracnpi10r) cos!l(tfracnpi10tr), sin!l(tfracnpi10xr)

Passo 6

(b) Para plotar u(x,t) em função de x para 0<= x<=10 e vários tin[0,20], soma-se numericamente os primeiros N modos (por ex. N=50) e faz-se curvas para t=0,5,10,15,20.
(c) Para plotar u(x,t) em função de t para 0<= t<=20 e pontos fixos x=2,5,8, procede-se de modo análogo somando os mesmos N modos em cada t.
(d) Uma animação no tempo mostra o perfil da corda variando de t=0 a 20, obtido repetindo o gráfico de (b) em pequenos incrementos de t. Em Python isso faz-se facilmente com Matplotlib e FuncAnimation.
(e) Fisicamente, a protuberância inicial de largura 2 no centro se decompõe em dois pulsos que se afastam das extremidades, refletem nas extremidades fixas com inversão de fase e voltam a encontrar-se no meio, repetindo o ciclo com período T=20/1=20.

Resposta

(a)
u(x,t) =sumn=1^infty 4npi,sin!(npi2),sin!(npi10) cos!(npi10t), sin!(npi10x)
(b) Gráficos de u(x,t) vs.\ x para t=0,5,10,15,20, obtidos somando Napprox50 modos.
(c) Gráficos de u(x,t) vs.\ t para x=2,5,8, idem.
(d) Animação do perfil u(x,t) de t=0 a 20 reforça o caráter periódico.
(e) A perturbação inicial divide-se em dois pulsos que se propagam, refletem nas extremidades com inversão de fase e reencontram-se no centro, repetindo o ciclo com período T=20.

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