Encontre a solução para a equação diferencial
sec (t) d yd t-e^y+sen(t)=0
Obs: Use separação de variáveis

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
sec(t),dydt - e^y+sin(t) = 0
e pede solução por separação de variáveis. Vamos identificar as partes em y e em t para separar e integrar.

Passo 2

Reescrevendo a equação, temos
sec(t),dydt = e^y+sin(t) Longrightarrow dydt = e^y+sin(t)cos(t)
Agora separamos as variáveis y e t:
e^-y,dy = e^sin(t)cos(t),dt

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral e^-y,dy = integral e^sin(t)cos(t),dt
No lado esquerdo
integral e^-y,dy = -,e^-y,
e no direito notamos que ddtl(sin(t)r)=cos(t), então
integral e^sin(t)cos(t),dt = e^sin(t)
Isso nos leva a
-,e^-y = e^sin(t) + C

Passo 4

Isolando e^-y e renomeando a constante ( tilde C=-C), obtemos
e^-y = tilde C - e^sin(t)
Tomando logaritmo e invertendo o sinal, chega-se à solução explícita
y(t) = -ln!l(tilde C - e^sin(t)r)

Resposta

y(t) = -ln!l(C - e^sin(t)r),
onde C é a constante arbitrária de integração.

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