Use as sequências das somas parciais para mostrar que
sumn=1^infty ln (nn+1) diverge

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
sumn=1^infty ln!l(nn+1r)
é divergente, ou seja, que suas somas parciais não convergem a um número finito. Para isso vamos usar a técnica de soma telescópica, aproveitando a propriedade dos logaritmos de transformar quociente em diferença.

Passo 2

Observe que, para cada n>=1, vale a identidade
ln!l(nn+1r) =ln(n)-ln(n+1)
Essa reescrita já sugere cancelamentos quando somarmos esses termos de n=1 até n=N.

Passo 3

Definimos a soma parcial até N como
SN=sumn=1^Nln!l(nn+1r)
Substituindo a forma em diferença de logaritmos, temos
SN =sumn=1^Nl[ln(n)-ln(n+1)r]
Agora veja que isso telescopa:
SN =(ln1-ln2)+(ln2-ln3)+cdots+(ln N-ln(N+1))

Passo 4

Na soma telescópica, tudo se cancela, sobrando apenas
SN =ln1-ln(N+1)
Como ln1=0, segue
SN=-ln(N+1)
Ao fazermos Ntoinfty, ln(N+1)toinfty, então
SN=-ln(N+1);longrightarrow;-infty
Isso mostra que as somas parciais não se aproximam de um valor finito, mas decaem sem limite.

Resposta

A série diverge, pois suas somas parciais SN=-ln(N+1) tendem a -infty quando Ntoinfty.

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