Use as sequências das somas parciais para mostrar que
diverge
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
é divergente, ou seja, que suas somas parciais não convergem a um número finito. Para isso vamos usar a técnica de soma telescópica, aproveitando a propriedade dos logaritmos de transformar quociente em diferença.
Passo 2
Observe que, para cada
, vale a identidade
Essa reescrita já sugere cancelamentos quando somarmos esses termos de
até
.
Passo 3
Definimos a soma parcial até
como
Substituindo a forma em diferença de logaritmos, temos
Agora veja que isso telescopa:
Passo 4
Na soma telescópica, tudo se cancela, sobrando apenas
Como
, segue
Ao fazermos
,
, então
Isso mostra que as somas parciais não se aproximam de um valor finito, mas decaem sem limite.
Resposta
A série diverge, pois suas somas parciais
tendem a
quando
.