Determine se as funções abaixo são periódicas e determine seu período.
(a) f(x)=sen(5 x).
(g) f(x)=x^2.
(b) f(x)=cos (2 pi x).
(h) f(x)=l0, se, 2 n-1 <= x <= 2 n 1, se, 2 n <= x <= 2 n+1.
© f(x)=senh(2 x).
(i) f(x)=l(-1)^n, se, 2 n-1 <= x <= 2 n 1, se, 2 n <= x <= 2 n+1.
(e) f(x)=tan (pi x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para identificar se determinadas funções são periódicas e, se forem, determinar o seu período. O conteúdo principal aqui é funções periódicas, que são funções que se repetem em intervalos regulares chamados de períodos. Para resolver isso, vamos analisar cada função individualmente e verificar se elas se repetem em algum intervalo fixo.

Passo 2

Vamos começar com a função (a) . As funções trigonométricas como o seno e o cosseno são funções periódicas por definição. O período da função é dado por .

Passo 3

Aplicando isso à nossa função T = 2pi5 , temos que . Então, o período é:
Portanto, a função é periódica com período .

Passo 4

Vamos para a função (g) . Funções polinomiais, como , geralmente não são periódicas porque seus gráficos não se repetem em intervalos fixos. Para uma função ser periódica, ela deve satisfazer para algum e para todo .

Passo 5

No caso de (x + T)^2 = x^2 , se assumirmos que ela é periódica, teríamos:
x^2 + 2Tx + T^2 = x^2
Expandindo:
2Tx + T^2 = 0
Simplificando:
Isso precisa ser válido para todo , o que só é possível se , mas o período deve ser positivo. Portanto, não é uma função periódica.

Passo 6

Agora, a função (b) . Assim como o seno, o cosseno é uma função trigonométrica periódica. O período da função é .

Passo 7

Aqui, T = 2pi2pi = 1 , então o período é:
Portanto, é periódica com período .

Passo 8

Vamos para a função (h):
f(x) = 0, & se 2n - 1 <= x <= 2n 1, & se 2n <= x <= 2n + 1
Este é um exemplo de função periódica definida por partes que se repetem a cada intervalo de comprimento .

Passo 9

Observando os intervalos:
  • De a :
  • De a :
Cada padrão de 0 e 1 se repete a cada unidade de . Portanto, o período é .

Passo 10

Agora, a função © . A função seno hiperbólico não é periódica. Diferente das funções trigonométricas, as funções hiperbólicas não se repetem em intervalos fixos.

Passo 11

Para verificar, suponha que sinh(2(x + T)) = sinh(2x) seja periódica com período e^2(x + T) - e^-2(x + T)2 = e^2x - e^-2x2 :
e^2T = e^-2T Rightarrow e^4T = 1
Usando a definição de :
Isso implica que:
A única solução real é , que não é um período válido. Portanto, não é uma função periódica.

Passo 12

Passando para a função (i):
f(x) = (-1)^n, & se 2n - 1 <= x <= 2n 1, & se 2n <= x <= 2n + 1
Essa função também é definida por partes e parece alternar entre valores dependendo do intervalo.

Passo 13

Observando os padrões:
  • De a :
  • De a :
O valor de alterna entre e dependendo de . Entretanto, a sequência dos padrões não se repete de forma consistente a cada intervalo fixo, o que sugere que a função não é periódica.

Passo 14

Por último, a função (e) . A função tangente é periódica, e o período da função é .

Passo 15

Aqui, T = pipi = 1 , então o período é:
Portanto, é periódica com período .

Resposta

Resumindo:
  • (a) : Periódica, período .
  • (g) : Não é periódica.
  • (b) : Periódica, período .
  • (h): Periódica, período .
  • © : Não é periódica.
  • (i): Não é periódica.
  • (e) : Periódica, período .

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