Determine se as funções abaixo são periódicas e determine seu período.
(a)
.
(g)
.
(b)
.
(h)
.
©
.
(i)
.
(e)
.
(a)
(g)
(b)
(h)
©
(i)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para identificar se determinadas funções são periódicas e, se forem, determinar o seu período. O conteúdo principal aqui é funções periódicas, que são funções que se repetem em intervalos regulares chamados de períodos. Para resolver isso, vamos analisar cada função individualmente e verificar se elas se repetem em algum intervalo fixo.
Passo 2
Vamos começar com a função (a)
. As funções trigonométricas como o seno e o cosseno são funções periódicas por definição. O período da função
é dado por
.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função
, temos que
. Então, o período
é:
Portanto, a função
é periódica com período
.
Passo 4
Vamos para a função (g)
. Funções polinomiais, como
, geralmente não são periódicas porque seus gráficos não se repetem em intervalos fixos. Para uma função ser periódica, ela deve satisfazer
para algum
e para todo
.
Passo 5
No caso de
, se assumirmos que ela é periódica, teríamos:
Expandindo:
Simplificando:
Isso precisa ser válido para todo
, o que só é possível se
, mas o período deve ser positivo. Portanto,
não é uma função periódica.
Passo 6
Agora, a função (b)
. Assim como o seno, o cosseno é uma função trigonométrica periódica. O período da função
é
.
Passo 7
Aqui,
, então o período
é:
Portanto,
é periódica com período
.
Passo 8
Vamos para a função (h):
Este é um exemplo de função periódica definida por partes que se repetem a cada intervalo de comprimento
.
Passo 9
Observando os intervalos:
- De
a : - De
a :
Cada padrão de 0 e 1 se repete a cada
unidade de
. Portanto, o período
é
.
Passo 10
Agora, a função ©
. A função seno hiperbólico
não é periódica. Diferente das funções trigonométricas, as funções hiperbólicas não se repetem em intervalos fixos.
Passo 11
Para verificar, suponha que
seja periódica com período
:
Usando a definição de
:
Isso implica que:
A única solução real é
, que não é um período válido. Portanto,
não é uma função periódica.
Passo 12
Passando para a função (i):
Essa função também é definida por partes e parece alternar entre valores dependendo do intervalo.
Passo 13
Observando os padrões:
- De
a : - De
a :
O valor de
alterna entre
e
dependendo de
. Entretanto, a sequência dos padrões não se repete de forma consistente a cada intervalo fixo, o que sugere que a função não é periódica.
Passo 14
Por último, a função (e)
. A função tangente é periódica, e o período da função
é
.
Passo 15
Aqui,
, então o período
é:
Portanto,
é periódica com período
.
Resposta
Resumindo:
- (a)
: Periódica, período . - (g)
: Não é periódica. - (b)
: Periódica, período . - (h): Periódica, período
. - ©
: Não é periódica. - (i): Não é periódica.
- (e)
: Periódica, período .