Considere uma CORDA ELÁSTICA DE COMPRIMENTO 10. A EXTREMIDADE
Sabendo que a equação diferencial parcial que rege o movimento da onda é DADA POR
Encontre o deslocamento, (u(x, t)], mostrando todos os paSSOS.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (lista clara):
- Domínio espacial:
- Condições de contorno:
- Condições iniciais:
onde - Pedido: encontrar explicitamente
e
.]
Passo 2
Escolha de forma geral da solução por separação em modos normais (expansão em autofunções). Escrevo a solução como série separável (isso é uma forma padrão e eficaz para problemas lineares com condições homogêneas de contorno):
Substituindo na equação e dividindo por
obtemos a separação com constante
:
Logo a parte espacial satisfaz o problema de autovalores
Passo 3
Resolver o problema de autovalores espacial. Analisar
:
-
Caso
: . A condição dá . Então e . Só solução trivial — não é autovalor. -
Caso
(soluções exponenciais): levam também só à solução trivial sob as duas condições homogêneas (verificável), então descartamos. -
Caso
: solução geral . A condição implica , então A condiçãodá . Para função não-trivial precisamos , isto é Portanto os autovalores sãoe os autovetores (autofunções) correspondentes são, até constante multiplicativa,
Observação didática curta sobre isso: as condições
e
formam um problema de Sturm–Liouville com autofunções
. Essas funções são ortogonais em
.
Passo 4
Propriedade de ortogonalidade e norma das autofunções. Para
,
e para
tem-se
(Esse último resultado vem do cálculo direto da integral ou do fato padrão de que para
com
a norma quadrática é
.)
Passo 5
Parte temporal. Para cada modo com
a equação temporal é
cuja solução geral é
Assim a solução completa toma a forma
Agora aplico as condições iniciais:
-
. -
.
Da segunda igualdade, usando ortogonalidade das
, obtemos
para todo
(porque a combinação linear em base ortogonal é zero iff todos coeficientes são zero). Logo
e os coeficientes
são os coeficientes da expansão de
na base
,
ou seja
ou seja
Passo 6
Cálculo explícito dos coeficientes
usando ortogonalidade. Multiplico termo a termo por
e integro em
:
Logo
Como
apenas em
e zero fora, a integral reduz-se a
Calculo essa integral elementar:
Portanto
Passo 7
Reescrevendo tudo com a expressão de
. Lembre que
Assim a solução final é a série:
onde
é dado acima. Isso resolve o problema completamente: cada termo representa um modo próprio oscilando com frequência angular
e amplitude dada por
.
Breve comentário prático e de compreensão: para obter uma aproximação numérica basta truncar a série em
termos grandes; coeficientes
decaem com
multiplicado por termos com cossenos, logo a série é bem comportada. Se quiser, posso mostrar os três primeiros termos numéricos para um
dado.