Considere uma CORDA ELÁSTICA DE COMPRIMENTO 10. A EXTREMIDADE x=0\) É MANTIDA FIXA, ENQUANTO A EXTREMIDADE \(x=10\) ESTÁ SOLTA; OU SEJA, AS CONDIÇÕES DE CONTORNO SÃO \(u(0, t)=0\) E \(u_{x}(10, t)=0\). A CORDA É COLOCADA EM MOVIMENTO SEM VELOCIDADE INICIAL, \(u_{t}(x, 0)=0\) PARA \(0 \leq x \leq 10\), E COM MOVIMENTO INICIAL \(u(x, 0)=f(x)\), ONDE: \[f(x)= \begin{cases}1, & 4<x<6 \\\\ 0, & \text { CASO CONTRÁRIO. }\end{cases}
Sabendo que a equação diferencial parcial que rege o movimento da onda é DADA POR
u_{t t}=a^{2} u_{x x}
Encontre o deslocamento, (u(x, t)], mostrando todos os paSSOS.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (lista clara):
  • Domínio espacial: 0\le x\le 10\). - Equação da onda: \[u_{t t}=a^{2}u_{x x}.
  • Condições de contorno: u(0,t)=0,\qquad u_{x}(10,t)=0\quad\text{para todo }t\ge0.
  • Condições iniciais: u(x,0)=f(x),\qquad u_{t}(x,0)=0\quad\text{para }0\le x\le10,onde f(x)=\begin{cases}1,&4<x<6,\\[4pt]0,&\text{caso contrário.}\end{cases}á
  • Pedido: encontrar explicitamente u(x,t)\] para todo \(x\in[0,10] e t\ge0.]

Passo 2

Escolha de forma geral da solução por separação em modos normais (expansão em autofunções). Escrevo a solução como série separável (isso é uma forma padrão e eficaz para problemas lineares com condições homogêneas de contorno):
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}T_n(t)\,X_n(x).
Substituindo na equação e dividindo por T_n X_n obtemos a separação com constante \lambda:
\frac{T_n''(t)}{a^{2}T_n(t)}=\frac{X_n''(x)}{X_n(x)}=-\lambda.
Logo a parte espacial satisfaz o problema de autovalores
X''(x)+\lambda X(x)=0,\qquad X(0)=0,\quad X'(10)=0.

Passo 3

Resolver o problema de autovalores espacial. Analisar \lambda:
  • Caso \lambda=0: X(x)=Ax+B. A condição X(0)=0 B=0. Então X'(x)=A e X'(10)=A=0\Rightarrow A=0. Só solução trivial — não é autovalor.
  • Caso \lambda=-\mu^{2}<0 (soluções exponenciais): levam também só à solução trivial sob as duas condições homogêneas (verificável), então descartamos.
  • Caso \lambda=k^{2}>0: solução geral X(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx). A condição X(0)=0 implica A=0, então
    X(x)=B\sin(kx).
    A condição X'(10)=0 B k\cos(k\cdot 10)=0. Para função não-trivial precisamos \cos(10k)=0, isto é
    10k=\frac{(2n-1)\pi}{2},\qquad n=1,2,3,\dots
    Portanto os autovalores são
    k_n=\frac{(2n-1)\pi}{20},\qquad \lambda_n=k_n^{2},
    e os autovetores (autofunções) correspondentes são, até constante multiplicativa,
    X_n(x)=\sin(k_n x).
Observação didática curta sobre isso: as condições X(0)=0 e X'(10)=0 formam um problema de Sturm–Liouville com autofunções \sin(k_n x). Essas funções são ortogonais em [0,10].

Passo 4

Propriedade de ortogonalidade e norma das autofunções. Para m\neq n,
\int_{0}^{10}\sin(k_n x)\sin(k_m x)\,dx=0,
e para m=n tem-se
\int_{0}^{10}\sin^{2}(k_n x)\,dx=\frac{10}{2}=5.
(Esse último resultado vem do cálculo direto da integral ou do fato padrão de que para k_n=(2n-1)\pi/(2L) com L=10 a norma quadrática é L/2.)

Passo 5

Parte temporal. Para cada modo com \lambda_n=k_n^{2} a equação temporal é
T_n''(t)+a^{2}k_n^{2}T_n(t)=0,
cuja solução geral é
T_n(t)=A_n\cos(a k_n t)+B_n\sin(a k_n t).
Assim a solução completa toma a forma
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_n\cos(a k_n t)+B_n\sin(a k_n t)\bigr)\sin(k_n x).
Agora aplico as condições iniciais:
  • u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin(k_n x)=f(x).
  • u_{t}(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}a k_n B_n\sin(k_n x)=0.
Da segunda igualdade, usando ortogonalidade das \sin(k_n x), obtemos B_n=0 para todo n (porque a combinação linear em base ortogonal é zero iff todos coeficientes são zero). Logo
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos(a k_n t)\sin(k_n x),
e os coeficientes A_n são os coeficientes da expansão de f(x) na base \{\sin(k_n x)\},
ou seja
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin(k_n x).

Passo 6

Cálculo explícito dos coeficientes A_n usando ortogonalidade. Multiplico termo a termo por \sin(k_m x) e integro em [0,10]:
\int_{0}^{10}f(x)\sin(k_m x)\,dx=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\int_{0}^{10}\sin(k_n x)\sin(k_m x)\,dx= A_m\cdot 5.
Logo
A_m=\frac{1}{5}\int_{0}^{10}f(x)\sin(k_m x)\,dx.
Como f(x)=1 apenas em (4,6) e zero fora, a integral reduz-se a
\int_{0}^{10}f(x)\sin(k_m x)\,dx=\int_{4}^{6}\sin(k_m x)\,dx.
Calculo essa integral elementar:
\int_{4}^{6}\sin(k_m x)\,dx=\left[-\frac{\cos(k_m x)}{k_m}\right]_{x=4}^{x=6}=\frac{\cos(k_m 4)-\cos(k_m 6)}{k_m}.
Portanto
A_m=\frac{1}{5}\,\frac{\cos(k_m 4)-\cos(k_m 6)}{k_m}.

Passo 7

Reescrevendo tudo com a expressão de k_n. Lembre que
k_n=\frac{(2n-1)\pi}{20},\qquad n=1,2,\dots
Assim a solução final é a série:
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{5}\,\frac{\cos\!\bigl(k_n 4\bigr)-\cos\!\bigl(k_n 6\bigr)}{k_n}\right]\cos\!\bigl(a k_n t\bigr)\sin\!\bigl(k_n x\bigr),
onde k_n é dado acima. Isso resolve o problema completamente: cada termo representa um modo próprio oscilando com frequência angular a k_n e amplitude dada por A_n.
Breve comentário prático e de compreensão: para obter uma aproximação numérica basta truncar a série em N termos grandes; coeficientes A_n decaem com 1/k_n multiplicado por termos com cossenos, logo a série é bem comportada. Se quiser, posso mostrar os três primeiros termos numéricos para um a dado.

Resposta

u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{5}\,\frac{\cos\!\bigl(k_n 4\bigr)-\cos\!\bigl(k_n 6\bigr)}{k_n}\right]\cos\!\bigl(a k_n t\bigr)\sin\!\bigl(k_n x\bigr),
\text{onde }\;k_n=\frac{(2n-1)\pi}{20},\quad n=1,2,\dots

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