Dados os polinômios f e g com g \neq 0 e \partial(f)>\partial(g), temos que a função racional \frac{f}{g} (imprópria) pode ser reescrita como a soma de um polinômio com uma função racional cujo grau do numerador é menor que o grau do denominador (própria). Para determinar esses polinômios, fazemos a divisão de f por g e encontramos os polinômios q \neq 0 e r tais que f=q \cdot g+r, com r=0 ou \partial(r)<\partial(g). Agora é só substituir na função racional:
\frac{f}{g}=\frac{q \cdot g+r}{g}=\frac{q \cdot g}{g}+\frac{r}{g}=q+\frac{r}{g}
Utilize esse resultado para reescrever as funções racionais seguintes como polinômios mais frações racionais próprias.
\frac{f}{g}=\frac{x^{6}-5 x^{4}+2 x^{2}}{x^{3}+4 x}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede, de forma clara:
  • Dado o polinômio numerador f(x)=x^{6}-5x^{4}+2x^{2}.
  • Dado o polinômio denominador g(x)=x^{3}+4x (com g\neq0).
  • Pede-se reescrever a função racional \dfrac{f}{g} como a soma de um polinómio e de uma fração racional própria (ou seja, encontrar q e r tais que \dfrac{f}{g}=q+\dfrac{r}{g} com \partial(r)<\partial(g)).
  • Informação útil imediata: \partial(f)=6 e \partial(g)=3, então realmente temos caso impróprio e é possível extrair um polinômio via divisão.

Passo 2

Breve explicação (passo a passo didático) de como fazer a divisão de polinômios:
  • A ideia é: dividir o termo de maior grau do numerador pelo termo de maior grau do denominador para obter o primeiro termo do quociente; multiplicar o divisor por esse termo e subtrair do numerador; repetir com o resto obtido até que o resto tenha grau menor que o grau do divisor.
  • Em notação, se ao final obtivermos q(x) e r(x) com \partial(r)<\partial(g), então vale a identidade em polinômios
f(x)=q(x)\,g(x)+r(x),
e portanto
\frac{f(x)}{g(x)}=q(x)+\frac{r(x)}{g(x)}.
  • Vou aplicar exatamente esse procedimento, mostrando cada conta.

Passo 3

Primeira etapa da divisão: dividir o termo principal.
  • Termo principal de f é x^{6}. Termo principal de g é x^{3}.
  • \dfrac{x^{6}}{x^{3}}=x^{3}. Esse é o primeiro termo do quociente.
  • Multiplico o divisor por x^{3}:
x^{3}\cdot (x^{3}+4x)=x^{6}+4x^{4}.
  • Subtraio isso de f:
(x^{6}-5x^{4}+2x^{2})-(x^{6}+4x^{4}) = -9x^{4}+2x^{2}.
Esse é o resto parcial após a primeira etapa.

Passo 4

Segunda etapa da divisão: continuar com o novo resto.
  • Agora o termo principal do resto é -9x^{4}. Divido pelo termo principal do divisor x^{3}:
\frac{-9x^{4}}{x^{3}}=-9x.
Esse é o segundo termo do quociente.
  • Multiplico o divisor por -9x:
-9x\cdot(x^{3}+4x) = -9x^{4}-36x^{2}.
  • Subtraio esse produto do resto anterior:
(-9x^{4}+2x^{2}) - (-9x^{4}-36x^{2}) = 38x^{2}.
Agora o novo resto é 38x^{2}.

Passo 5

Verificação do critério de parada e escrita da identidade:
  • O grau do resto atual é \partial(38x^{2})=2, que é menor que \partial(g)=3. Portanto paramos.
  • O quociente obtido é
q(x)=x^{3}-9x,
e o resto é
r(x)=38x^{2}.
  • Assim temos a identidade em polinômios:
f(x)=(x^{3}-9x)\,(x^{3}+4x)+38x^{2}.

Passo 6

Substituição na função racional e simplificação da fração própria:
  • Substituindo na fração,
\frac{f(x)}{g(x)} = x^{3}-9x + \frac{38x^{2}}{x^{3}+4x}.
  • A fração própria pode ser simplificada fatorando x em numerador e denominador (quando x\neq0):
\frac{38x^{2}}{x^{3}+4x}=\frac{38x^{2}}{x(x^{2}+4)}=\frac{38x}{x^{2}+4}\quad\text{(para \(x\neq0\))}.
Observação técnica: a simplificação cancela um fator x comum; isso dá uma expressão equivalente para todos os x em que ambos os lados estão definidos. O ponto x=0 é uma possível singularidade removível (no polinómio original f também vale 0 em x=0 e o denominador anula, então a função racional original não está definida em x=0). Para o objetivo de reescrever como polinómio + fração própria, a forma simplificada é aceitável.

Passo 7

Conclusão final (forma polinômio + fração própria simplificada):
  • A decomposição é
\frac{f(x)}{g(x)} = x^{3}-9x + \frac{38x}{x^{2}+4}.

Resposta

\frac{x^{6}-5x^{4}+2x^{2}}{x^{3}+4x}=x^{3}-9x+\frac{38x}{x^{2}+4}

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