Dados os polinômios
e
com
e
, temos que a função racional
(imprópria) pode ser reescrita como a soma de um polinômio com uma função racional cujo grau do numerador é menor que o grau do denominador (própria). Para determinar esses polinômios, fazemos a divisão de
por
e encontramos os polinômios
e
tais que
, com
ou
. Agora é só substituir na função racional:
Utilize esse resultado para reescrever as funções racionais seguintes como polinômios mais frações racionais próprias.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede, de forma clara:
- Dado o polinômio numerador
. - Dado o polinômio denominador
(com ). - Pede-se reescrever a função racional
como a soma de um polinómio e de uma fração racional própria (ou seja, encontrar e tais que com ). - Informação útil imediata:
e , então realmente temos caso impróprio e é possível extrair um polinômio via divisão.
Passo 2
Breve explicação (passo a passo didático) de como fazer a divisão de polinômios:
- A ideia é: dividir o termo de maior grau do numerador pelo termo de maior grau do denominador para obter o primeiro termo do quociente; multiplicar o divisor por esse termo e subtrair do numerador; repetir com o resto obtido até que o resto tenha grau menor que o grau do divisor.
- Em notação, se ao final obtivermos
e com , então vale a identidade em polinômios
e portanto
- Vou aplicar exatamente esse procedimento, mostrando cada conta.
Passo 3
Primeira etapa da divisão: dividir o termo principal.
- Termo principal de
é . Termo principal de é . -
. Esse é o primeiro termo do quociente. - Multiplico o divisor por
:
- Subtraio isso de
:
Esse é o resto parcial após a primeira etapa.
Passo 4
Segunda etapa da divisão: continuar com o novo resto.
- Agora o termo principal do resto é
. Divido pelo termo principal do divisor :
Esse é o segundo termo do quociente.
- Multiplico o divisor por
:
- Subtraio esse produto do resto anterior:
Agora o novo resto é
.
Passo 5
Verificação do critério de parada e escrita da identidade:
- O grau do resto atual é
, que é menor que . Portanto paramos. - O quociente obtido é
e o resto é
- Assim temos a identidade em polinômios:
Passo 6
Substituição na função racional e simplificação da fração própria:
- Substituindo na fração,
- A fração própria pode ser simplificada fatorando
em numerador e denominador (quando ):
Observação técnica: a simplificação cancela um fator
comum; isso dá uma expressão equivalente para todos os
em que ambos os lados estão definidos. O ponto
é uma possível singularidade removível (no polinómio original
também vale
em
e o denominador anula, então a função racional original não está definida em
). Para o objetivo de reescrever como polinómio + fração própria, a forma simplificada é aceitável.
Passo 7
Conclusão final (forma polinômio + fração própria simplificada):
- A decomposição é