Dados os polinômios
e
com
e
, temos que a função racional
(imprópria) pode ser reescrita como a soma de um polinômio com uma função racional cujo grau do numerador é menor que o grau do denominador (própria). Para determinar esses polinômios, fazemos a divisão de
por
e encontramos os polinômios
e
tais que
, com
ou
. Agora é só substituir na função racional:
Utilize esse resultado para reescrever as funções racionais seguintes como polinômios mais frações racionais próprias.
Passo 1
O enunciado pede para reescrever a função racional como um polinômio mais uma fração racional própria, ou seja, escrever
na forma polinômio
, onde o resto tem grau menor que o grau de
. Dados fornecidos:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Objetivo: encontrar polinômio
e resto com tais que
Passo 2
Explicação do método (breve aula rápida): para dividir polinômios usa-se o algoritmo da divisão polinomial. Em cada passo:
- Divide-se o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor para obter um termo do quociente.
- Multiplica-se todo o divisor por esse termo e subtrai-se do dividendo.
- Repete-se com o novo resto até que o grau do resto seja menor que o grau do divisor.
O procedimento é análogo à divisão de inteiros, só que com termos em. Aqui vamos aplicar passo a passo.
Passo 3
Escrevo
completando termos nulos para facilitar alinhamento:
E o divisor:
Começo dividindo o termo líder
pelo líder
: o primeiro termo do quociente é
.
Passo 4
Multiplico
por
e subtraio:
Subtraindo de
:
Novo resto após o primeiro passo:
Passo 5
Agora divido o termo líder de
, que é
, pelo líder de
,
: o próximo termo do quociente é
.
Passo 6
Multiplico
por
e subtraio:
Subtraindo de
:
Novo resto:
Passo 7
Divido o termo líder de
,
, por
: obtém-se
como próximo termo do quociente.
Passo 8
Multiplicando e subtraindo:
Novo resto:
Passo 9
Divido o termo líder de
,
, por
: o próximo termo do quociente é
.
Passo 10
Multiplico e subtraio:
Agora o resto final é
Passo 11
Verificação do critério de parada: o grau de
é
e o grau do divisor é
. Como
, a divisão termina. O quociente encontrado, juntando os termos, é
Portanto a identidade da divisão é
Passo 12
Concluo a reescrita da função racional usando a identidade acima:
Observação didática final: pode-se checar rapidamente se a fração
é irredutível (não simplifica) testando raízes simples. Aqui
, mas
e
, logo não há fator comum linear
nem
; portanto a fração já está na forma própria mais simples.