Dados os polinômios f e g com g \neq 0 e \partial(f)>\partial(g), temos que a função racional \frac{f}{g} (imprópria) pode ser reescrita como a soma de um polinômio com uma função racional cujo grau do numerador é menor que o grau do denominador (própria). Para determinar esses polinômios, fazemos a divisão de f por g e encontramos os polinômios q \neq 0 e r tais que f=q \cdot g+r, com r=0 ou \partial(r)<\partial(g). Agora é só substituir na função racional:
\frac{f}{g}=\frac{q \cdot g+r}{g}=\frac{q \cdot g}{g}+\frac{r}{g}=q+\frac{r}{g}
Utilize esse resultado para reescrever as funções racionais seguintes como polinômios mais frações racionais próprias.
\frac{f}{g}=\frac{x^{7}-3 x^{5}+2 x^{3}-x+5}{x^{3}+2 x^{2}+x}

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a função racional como um polinômio mais uma fração racional própria, ou seja, escrever
\frac{f}{g}=\frac{x^{7}-3x^{5}+2x^{3}-x+5}{x^{3}+2x^{2}+x}
na forma polinômio + \dfrac{\text{resto}}{g}, onde o resto tem grau menor que o grau de g. Dados fornecidos:
  • Numerador: f(x)=x^{7}-3x^{5}+2x^{3}-x+5.
  • Denominador: g(x)=x^{3}+2x^{2}+x.
  • Objetivo: encontrar polinômio q(x) e resto r(x) com \partial(r)<\partial(g) tais que
\frac{f}{g}=q+\frac{r}{g}.

Passo 2

Explicação do método (breve aula rápida): para dividir polinômios usa-se o algoritmo da divisão polinomial. Em cada passo:
  • Divide-se o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor para obter um termo do quociente.
  • Multiplica-se todo o divisor por esse termo e subtrai-se do dividendo.
  • Repete-se com o novo resto até que o grau do resto seja menor que o grau do divisor.
    O procedimento é análogo à divisão de inteiros, só que com termos em x. Aqui vamos aplicar passo a passo.

Passo 3

Escrevo f completando termos nulos para facilitar alinhamento:
f(x)=x^{7}+0x^{6}-3x^{5}+0x^{4}+2x^{3}+0x^{2}-x+5.
E o divisor:
g(x)=x^{3}+2x^{2}+x.
Começo dividindo o termo líder x^{7} pelo líder x^{3}: o primeiro termo do quociente é x^{4}.

Passo 4

Multiplico g por x^{4} e subtraio:
x^{4}\cdot g(x)=x^{7}+2x^{6}+x^{5}.
Subtraindo de f:
\bigl(x^{7}+0x^{6}-3x^{5}+\dots\bigr)-\bigl(x^{7}+2x^{6}+x^{5}\bigr) =-2x^{6}-4x^{5}+0x^{4}+2x^{3}+0x^{2}-x+5.
Novo resto após o primeiro passo:
R_1(x)=-2x^{6}-4x^{5}+0x^{4}+2x^{3}+0x^{2}-x+5.

Passo 5

Agora divido o termo líder de R_1, que é -2x^{6}, pelo líder de g, x^{3}: o próximo termo do quociente é -2x^{3}.

Passo 6

Multiplico g por -2x^{3} e subtraio:
-2x^{3}\cdot g(x)=-2x^{6}-4x^{5}-2x^{4}.
Subtraindo de R_1:
\bigl(-2x^{6}-4x^{5}+0x^{4}+\dots\bigr)-\bigl(-2x^{6}-4x^{5}-2x^{4}\bigr) =2x^{4}+2x^{3}+0x^{2}-x+5.
Novo resto:
R_2(x)=2x^{4}+2x^{3}+0x^{2}-x+5.

Passo 7

Divido o termo líder de R_2, 2x^{4}, por x^{3}: obtém-se 2x como próximo termo do quociente.

Passo 8

Multiplicando e subtraindo:
2x\cdot g(x)=2x^{4}+4x^{3}+2x^{2}.
R_2(x)-2x\cdot g(x)=\bigl(2x^{4}+2x^{3}+0x^{2}+\dots\bigr)-\bigl(2x^{4}+4x^{3}+2x^{2}\bigr) =-2x^{3}-2x^{2}-x+5.
Novo resto:
R_3(x)=-2x^{3}-2x^{2}-x+5.

Passo 9

Divido o termo líder de R_3, -2x^{3}, por x^{3}: o próximo termo do quociente é -2.

Passo 10

Multiplico e subtraio:
-2\cdot g(x)=-2x^{3}-4x^{2}-2x.
R_3(x)-(-2)g(x)=\bigl(-2x^{3}-2x^{2}-x+5\bigr)-\bigl(-2x^{3}-4x^{2}-2x\bigr) =2x^{2}+x+5.
Agora o resto final é
r(x)=2x^{2}+x+5.

Passo 11

Verificação do critério de parada: o grau de r é \partial(r)=2 e o grau do divisor é \partial(g)=3. Como 2<3, a divisão termina. O quociente encontrado, juntando os termos, é
q(x)=x^{4}-2x^{3}+2x-2.
Portanto a identidade da divisão é
f(x)=q(x)\,g(x)+r(x).

Passo 12

Concluo a reescrita da função racional usando a identidade acima:
\frac{f(x)}{g(x)}=q(x)+\frac{r(x)}{g(x)} = x^{4}-2x^{3}+2x-2+\frac{2x^{2}+x+5}{x^{3}+2x^{2}+x}.
Observação didática final: pode-se checar rapidamente se a fração \dfrac{r}{g} é irredutível (não simplifica) testando raízes simples. Aqui g(x)=x(x+1)^{2}, mas r(0)=5\neq0 e r(-1)=6\neq0, logo não há fator comum linear x nem x+1; portanto a fração já está na forma própria mais simples.

Resposta

x^{4}-2x^{3}+2x-2+\dfrac{2x^{2}+x+5}{x^{3}+2x^{2}+x}

Exercícios relacionados