Determine a reta tangente e o plano normal para r(t)=exp (3 t) i+exp (-3 t) j+raiz18 t k, no ponto em que t=1.

Passo 1

Temos a curva r(t)=e^3ti+e^-3tj+raiz18,tk. Precisamos encontrar a reta tangente e o plano normal no ponto correspondente a t=1. Para isso, usaremos a derivada vetorial para obter o vetor tangente e depois escreveremos as equações da reta e do plano ortogonal a esse vetor.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada vetorial r'(t) componente a componente usando regra da cadeia:
r'(t) = (3e^3t,,-3e^-3t,,raiz18)
Em seguida, avaliamos em t=1 para obter o ponto de interesse e o vetor tangente:
P = r(1) = (e^3,,e^-3,,raiz18),
v = r'(1) = (3e^3,,-3e^-3,,raiz18)

Passo 3

A reta tangente é obtida a partir do ponto P e do vetor diretor v. Sua forma paramétrica é
L(s) = P + s,v = (e^3,,e^-3,,raiz18) + s,(3e^3,,-3e^-3,,raiz18)
Logo as equações paramétricas são
x = e^3 + 3e^3s, y = e^-3 - 3e^-3s, z = raiz18 + raiz18s

Passo 4

O plano normal é o plano que contém P e tem normal igual ao vetor tangente v. Sua equação vetorial é dada por
(X-P)cdotv = 0
Em coordenadas isso fica
3e^3(x - e^3) - 3e^-3(y - e^-3) + raiz18(z - raiz18) = 0

Resposta

Reta tangente: L(s) = (e^3, e^-3, raiz18) + s,(3e^3, -3e^-3, raiz18).
Plano normal: 3e^3(x - e^3) - 3e^-3(y - e^-3) + raiz18(z - raiz18) = 0.

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