Considere uma corda elástica de comprimento
cujas extremidades estão fixas. A corda é posta em movimento sem velocidade inicial a partir de uma posição inicial
. Em cada um dos Problemas 1 a 4, execute os seguintes passos. Deixe
e
nas partes (b) a (d).
(a) Encontre o deslocamento
para a posição inicial dada
.
4.
(a) Encontre o deslocamento
4.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o deslocamento $ u(x, t) $ de uma corda elástica de comprimento $ L = 10 $, com extremidades fixas. A corda é iniciada em movimento a partir de uma posição inicial $ u(x, 0) = f(x) $, onde $ f(x) $ é uma função que vale 1 em $ \left( \frac{L}{2} - 1, \frac{L}{2} + 1 \right) $ e 0 caso contrário. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos da equação da onda e expansão em séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a equação da onda para uma corda fixa nas extremidades é dada por:
onde $ a $ é a velocidade da onda na corda. Como $ a = 1 $, a equação simplifica para:
Passo 3
As soluções dessa equação, com as condições de contorno $ u(0, t) = u(L, t) = 0 $, podem ser expressas em séries de Fourier. A solução geral é:
onde $ A_n $ e $ B_n $ são coeficientes a serem determinados pelas condições iniciais.
Passo 4
Considerando que a corda é posta em movimento sem velocidade inicial, temos:
Isso implica que $ B_n = 0 $ para todos os $ n $, simplificando a solução para:
Passo 5
Agora, aplicamos a condição inicial de deslocamento $ u(x, 0) = f(x) $. Substituindo $ t = 0 $ na solução:
Para encontrar os coeficientes $ A_n $, usamos a fórmula de Fourier para séries de seno:
Com $ L = 10 $:
Passo 6
Dado que $ f(x) = 1 $ para $ 4 < x < 6 $ e 0 caso contrário, a integral para $ A_n $ fica:
Resolvendo a integral:
Simplificando:
Resposta
Portanto, o deslocamento $ u(x, t) $ da corda é dado por: