Determine o peso do sólido
delimitado pelo cilindro e pelos planos
e cuja densidade de massa em um ponto é o inverso da distância ao eixo
, ou seja,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o peso de um sólido $ S $ que é limitado por um cilindro e por dois planos específicos. A densidade desse sólido em qualquer ponto é dada pelo inverso da distância até o eixo $ z $. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo de integrais múltiplas, especialmente coordenadas cilíndricas, já que temos um cilindro envolvido.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher o sistema de coordenadas mais adequado. Como estamos lidando com um cilindro definido por $ x^{2} + y^{2} = 16 $, as coordenadas cilíndricas são perfeitas para simplificar a nossa vida. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Isso vai facilitar a descrição das superfícies que delimitam o sólido.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para $ r $, $ \theta $ e $ z $:
- Para $ r $: O cilindro é definido por $ r = 4 $, então $ r $ varia de 0 a 4.
- Para $ \theta $: Como não há restrição angular, $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $.
- Para $ z $: Os planos que delimitam $ z $ são $ z = 0 $ e $ y + z = 4 $. Em coordenadas cilíndricas, $ y = r \sin\theta $, então o limite superior para $ z $ é $ z = 4 - r \sin\theta $.
Passo 4
Vamos expressar a densidade $ \delta(x, y, z) $ em coordenadas cilíndricas. Dado que:
Substituindo $ x $ e $ y $:
Passo 5
Para encontrar o peso (massa) do sólido, vamos integrar a densidade sobre o volume $ S $. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é $ dV = r , dz , dr , d\theta $. Portanto, a massa $ M $ é dada por:
Perceba que o $ r $ no numerador e denominador se cancelam.
Passo 6
Simplificando a integral:
Integrando em relação a $ z $:
Agora, substituindo de volta:
Integrando em relação a $ r $:
Então:
Integrando em relação a $ \theta $:
Portanto:
Resposta
O peso do sólido $ S $ é $ 32\pi $ unidades de massa.