Determine o peso do sólido S delimitado pelo cilindro e pelos planos
x^2+y^2=16, y+z=4 e z=0
e cuja densidade de massa em um ponto é o inverso da distância ao eixo z, ou seja,
de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o peso de um sólido $ S $ que é limitado por um cilindro e por dois planos específicos. A densidade desse sólido em qualquer ponto é dada pelo inverso da distância até o eixo $ z $. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo de integrais múltiplas, especialmente coordenadas cilíndricas, já que temos um cilindro envolvido.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o sistema de coordenadas mais adequado. Como estamos lidando com um cilindro definido por $ x^{2} + y^{2} = 16 $, as coordenadas cilíndricas são perfeitas para simplificar a nossa vida. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x^2 + y^2 = 16
Isso vai facilitar a descrição das superfícies que delimitam o sólido.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para $ r $, $ \theta $ e $ z $:
  • Para $ r $: O cilindro é definido por $ r = 4 $, então $ r $ varia de 0 a 4.
  • Para $ \theta $: Como não há restrição angular, $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $.
  • Para $ z $: Os planos que delimitam $ z $ são $ z = 0 $ e $ y + z = 4 $. Em coordenadas cilíndricas, $ y = r \sin\theta $, então o limite superior para $ z $ é $ z = 4 - r \sin\theta $.

Passo 4

Vamos expressar a densidade $ \delta(x, y, z) $ em coordenadas cilíndricas. Dado que:
de
Substituindo $ x $ e $ y $:
de

Passo 5

Para encontrar o peso (massa) do sólido, vamos integrar a densidade sobre o volume $ S $. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é $ dV = r , dz , dr , d\theta $. Portanto, a massa $ M $ é dada por:
S
Perceba que o $ r $ no numerador e denominador se cancelam.

Passo 6

Simplificando a integral:
M = integral0^2pi integral0^4 integral0^4 - r sintheta dz , dr , dtheta
Integrando em relação a $ z $:
z
Agora, substituindo de volta:
integral0^4 - r sintheta dz = 4 - r sintheta
Integrando em relação a $ r $:
M = integral0^2pi integral0^4 (4 - r sintheta) , dr , dtheta
r
Então:
integral0^4 4 , dr = 16
Integrando em relação a $ \theta $:
integral0^4 r sintheta , dr = sintheta cdot r^22 g|0^4 = sintheta cdot 8
M = integral0^2pi (16 - 8 sintheta) , dtheta
Portanto:
theta

Resposta

O peso do sólido $ S $ é $ 32\pi $ unidades de massa.

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