Considere uma corda elástica de comprimento cujas extremidades são mantidas fixas. A corda é colocada em movimento a partir de sua posição de equilíbrio, com velocidade inicial . Encontre o deslocamento .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre uma corda vibrante. A gente tem uma corda elástica de comprimento L com as extremidades fixas. No começo, a corda está em equilíbrio, mas daí ela é puxada com uma certa velocidade inicial ut(x, 0) = g(x) , onde g(x) é uma função que vale 1 em uma região central da corda e 0 fora dessa região.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações de onda e séries de Fourier. Basicamente, vamos decompor a velocidade inicial em ondas que se propagam na corda e então ver como elas evoluem no tempo para encontrar o deslocamento u(x, t) .
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a equação que descreve o movimento da corda é a equação da onda:
Aqui, c é a velocidade da onda na corda. Como as extremidades estão fixas, as condições de contorno são:
u(0, t) = 0 e u(L, t) = 0
Passo 3
Como a posição inicial da corda está em equilíbrio, o deslocamento inicial [u(x, 0)) é zero:
Mas a velocidade inicial não é zero. Ela é dada por:
á
Isso significa que, no instante (t = 0], a corda começa a se mover com essa velocidade inicial.
Passo 4
Para resolver isso, vamos expandir g(x) em uma série de Fourier senoidal, já que as condições de contorno são senos (as extremidades são fixas). A solução geral para u(x, t) pode ser escrita como:
u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(npi c tL) + Bn sin(npi c tL) ] sin(npi xL)
Como u(x, 0) = 0 , isso nos dá An = 0 .
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os coeficientes Bn . Como o deslocamento inicial é zero, os Bn estão relacionados à velocidade inicial g(x) . A fórmula para Bn é:
Bn = 2L integral0^L g(x) sin(npi xL) dx
Vamos calcular essa integral. Como g(x) = 1 apenas entre L2 - 1 e L2 + 1 , a integral fica: