Considere uma corda elástica de comprimento L cujas extremidades são mantidas fixas. A corda é colocada em movimento a partir de sua posição de equilíbrio, com velocidade inicial ut(x, 0)=g(x). Encontre o deslocamento u(x, t).
g(x)=ll1, & L / 2-1<x<L / 2+1 (L>2), 0, & caso contário á

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre uma corda vibrante. A gente tem uma corda elástica de comprimento L com as extremidades fixas. No começo, a corda está em equilíbrio, mas daí ela é puxada com uma certa velocidade inicial ut(x, 0) = g(x) , onde g(x) é uma função que vale 1 em uma região central da corda e 0 fora dessa região.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações de onda e séries de Fourier. Basicamente, vamos decompor a velocidade inicial em ondas que se propagam na corda e então ver como elas evoluem no tempo para encontrar o deslocamento u(x, t) .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a equação que descreve o movimento da corda é a equação da onda:
partial^2 upartial t^2 = c^2 partial^2 upartial x^2
Aqui, c é a velocidade da onda na corda. Como as extremidades estão fixas, as condições de contorno são:
u(0, t) = 0 e u(L, t) = 0

Passo 3

Como a posição inicial da corda está em equilíbrio, o deslocamento inicial [u(x, 0)) é zero:
Mas a velocidade inicial não é zero. Ela é dada por:
á
Isso significa que, no instante (t = 0], a corda começa a se mover com essa velocidade inicial.

Passo 4

Para resolver isso, vamos expandir g(x) em uma série de Fourier senoidal, já que as condições de contorno são senos (as extremidades são fixas). A solução geral para u(x, t) pode ser escrita como:
u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(npi c tL) + Bn sin(npi c tL) ] sin(npi xL)
Como u(x, 0) = 0 , isso nos dá An = 0 .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os coeficientes Bn . Como o deslocamento inicial é zero, os Bn estão relacionados à velocidade inicial g(x) . A fórmula para Bn é:
Bn = 2L integral0^L g(x) sin(npi xL) dx
Vamos calcular essa integral. Como g(x) = 1 apenas entre L2 - 1 e L2 + 1 , a integral fica:
Bn = 2L integralL2 - 1^L2 + 1 sin(npi xL) dx

Passo 6

Resolvendo a integral:
Bn = 2L [ -Lnpi cos(npi xL) ]L2 - 1^L2 + 1 = -2npi [ cos(npi (L2 + 1)L) - cos(npi (L2 - 1)L) ]
Simplificando os argumentos das cossenos:
npi (L2 pm 1)L = npi2 pm npiL
Então:
Bn = -2npi [ cos(npi2 + npiL) - cos(npi2 - npiL) ]

Passo 7

Utilizando a identidade trigonométrica cos(A pm B) = cos A cos B mp sin A sin B , podemos reescrever:
Bn = -2npi [ cos(npi2)cos(npiL) - sin(npi2)sin(npiL) - (cos(npi2)cos(npiL) + sin(npi2)sin(npiL)) ]
Ao simplificar:
Bn = -2npi [ -2 sin(npi2)sin(npiL) ] = 4npi sin(npi2)sin(npiL)

Passo 8

Agora, substituindo Bn de volta na solução geral:
u(x, t) = sumn=1^infty ( 4npi sin(npi2)sin(npiL) ) sin(npi c tL) sin(npi xL)

Passo 9

Portanto, o deslocamento u(x, t) da corda é dado por:
u(x, t) = 4pi sumn=1^infty sin(npi2)sin(npiL)n sin(npi c tL) sin(npi xL)

Resposta

O deslocamento da corda em qualquer ponto x e tempo t é dado por
u(x, t) = 4pi sumn=1^infty sin(npi2)sin(npiL)n sin(npi c tL) sin(npi xL)

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