Sejam v(x, t) e w(x, t) soluções dos problemas
c v t t = a ^ 2 v x x , 0 < x < L , t > 0 , v ( 0 , t ) = 0 , v ( L , t ) = 0 , t > 0 , v ( x , 0 ) = f ( x ) , v t ( x , 0 ) = 0 , 0 <= x <= L , c wt t=a^2 wx x, 0<x<L, t>0 w(0, t)=0, w(L, t)=0, t>0 w(x, 0)=0, wt(x, 0)=g(x), 0 <= x <= L
Prove que u(x, t)=v(x, t)+w(x, t) satisfaz
a equação da onda
ut t=a^2 ux x

Passo 1

O enunciado nos dá duas soluções v(x,t) e w(x,t) do problema da corda fixa com condição de Dirichlet homogênea em x=0 e x=L. A primeira tem deslocamento inicial f(x) e velocidade inicial nula, a segunda tem deslocamento inicial nulo e velocidade inicial g(x). O conteúdo é a linearidade da equação da onda
utt=a^2,uxx
e vamos usar que a soma de soluções de uma equação linear é outra solução.

Passo 2

Como v é solução do problema
vtt=a^2,vxx,&0<x<L,;t>0, v(0,t)=0,;v(L,t)=0, v(x,0)=f(x),;vt(x,0)=0,
tem-se em particular a identidade diferencial
vtt(x,t)=a^2,vxx(x,t)

Passo 3

De modo semelhante, w satisfaz
wtt=a^2,wxx,&0<x<L,;t>0, w(0,t)=0,;w(L,t)=0, w(x,0)=0,;wt(x,0)=g(x),
logo também
wtt(x,t)=a^2,wxx(x,t)

Passo 4

Definindo
u(x,t)=v(x,t)+w(x,t),
podemos derivar somando as igualdades dos passos anteriores:
utt=vtt+wtt e uxx=vxx+wxx
Portanto,
utt =vtt+wtt =a^2,vxx+a^2,wxx =a^2,(vxx+wxx) =a^2,uxx

Resposta

A soma u(x,t)=v(x,t)+w(x,t) satisfaz
utt=a^2,uxx

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