Sejam v(x, t) e w(x, t) soluções dos problemas
c v t t = a ^ 2 v x x , 0 < x < L , t > 0 , v ( 0 , t ) = 0 , v ( L , t ) = 0 , t > 0 , v ( x , 0 ) = f ( x ) , v t ( x , 0 ) = 0 , 0 <= x <= L , c wt t=a^2 wx x, 0<x<L, t>0 w(0, t)=0, w(L, t)=0, t>0 w(x, 0)=0, wt(x, 0)=g(x), 0 <= x <= L
Prove que u(x, t)=v(x, t)+w(x, t) satisfaz
as condições de contorno
u(0, t)=0, u(L, t)=0, t>0

Passo 1

O enunciado diz que v(x,t) e w(x,t) são soluções do mesmo problema de onda homogêneo em (0,L) com condições de contorno
v(0,t)=0,;v(L,t)=0 e w(0,t)=0,;w(L,t)=0,
e com diferentes condições iniciais. Queremos mostrar que
u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)
também satisfaz as condições de contorno homogêneas em x=0 e x=L.

Passo 2

Note que a equação da onda
utt=a^2,uxx
é linear, e as condições de contorno
u(0,t)=0, u(L,t)=0
são expressões lineares em u. Portanto, pela superposição, a soma de duas soluções que satisfazem essas mesmas condições de contorno também satisfaz.

Passo 3

Em particular, para todo t>0 temos
u(0,t)=v(0,t)+w(0,t)=0+0=0,
u(L,t)=v(L,t)+w(L,t)=0+0=0

Resposta

u(0,t)=0, u(L,t)=0, t>0

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