Sejam
e
soluções dos problemas
Prove que
u(x, t)=v(x, t)+w(x, t) satisfaz
as condições de contorno
u(0, t)=0, u(L, t)=0, t>0
as condições de contorno
Passo 1
O enunciado diz que
v(x,t) e
w(x,t) são soluções do mesmo problema de onda homogêneo em
(0,L) com condições de contorno
e com diferentes condições iniciais. Queremos mostrar que
também satisfaz as condições de contorno homogêneas em
x=0 e
x=L .
Passo 2
Note que a equação da onda
é linear, e as condições de contorno
são expressões lineares em
u . Portanto, pela superposição, a soma de duas soluções que satisfazem essas mesmas condições de contorno também satisfaz.
Passo 3
Em particular, para todo
t>0 temos