Considere uma corda elástica de comprimento
cujas extremidades estão fixas. A corda é colocada em movimento a partir da sua posição de equilíbrio e com velocidade dada por
. Considerando
, determine
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma corda de comprimento
com as pontas fixas. A corda é puxada a partir da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial dada por
, onde
. Nosso objetivo é encontrar a função
que descreve o movimento da corda ao longo do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de equações de onda e séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação da onda para uma corda vibrante é dada por:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação ao tempo
, e
é a segunda derivada em relação à posição
. Como
, a equação simplifica para:
Passo 3
As condições de contorno são que as extremidades da corda estão fixas, ou seja:
Também temos a condição inicial de deslocamento:
E a condição inicial de velocidade:
Passo 4
Para resolver a equação da onda com essas condições, usamos a Separação de Variáveis e a Série de Fourier. A solução geral pode ser expressa como uma soma de modos vibratórios (senos) com frequências específicas. Cada modo tem a forma:
Onde
é um número inteiro que representa o modo da vibração, e
são os coeficientes que determinam a amplitude de cada modo.
Passo 5
Dado que o deslocamento inicial
, não há contribuição dos modos no deslocamento inicial, apenas na velocidade. A condição de velocidade inicial nos dá diretamente os coeficientes
. Comparando com a expressão para
, vemos que cada termo de
corresponde a um modo da vibração:
Isso significa que temos dois modos: um com
e outro com
, com amplitudes
e
.
Passo 6
Finalmente, substituímos esses valores na expressão geral da solução:
Resposta
A função que descreve o movimento da corda é: