Considere uma corda elástica de comprimento L cujas extremidades estão fixas. A corda é colocada em movimento a partir da sua posição de equilíbrio e com velocidade dada por ut(x, 0)=g(x). Considerando a=1, determine u(x, t) :
g(x)=5 sin (3 pi xL)-2 sin (5 pi xL)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma corda de comprimento L com as pontas fixas. A corda é puxada a partir da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial dada por ut(x, 0)=g(x), onde g(x)=5 sin (3 pi xL)-2 sin (5 pi xL). Nosso objetivo é encontrar a função u(x, t) que descreve o movimento da corda ao longo do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de equações de onda e séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação da onda para uma corda vibrante é dada por:
utt = a^2 uxx
Aqui, utt é a segunda derivada de u em relação ao tempo t, e uxx é a segunda derivada em relação à posição x. Como a=1, a equação simplifica para:
utt = uxx

Passo 3

As condições de contorno são que as extremidades da corda estão fixas, ou seja:
u(0, t) = u(L, t) = 0
Também temos a condição inicial de deslocamento:
u(x, 0) = 0
E a condição inicial de velocidade:
ut(x, 0) = g(x) = 5 sin (3 pi xL) - 2 sin (5 pi xL)

Passo 4

Para resolver a equação da onda com essas condições, usamos a Separação de Variáveis e a Série de Fourier. A solução geral pode ser expressa como uma soma de modos vibratórios (senos) com frequências específicas. Cada modo tem a forma:
un(x, t) = An sin(n pi xL) sin(n pi tL)
Onde n é um número inteiro que representa o modo da vibração, e An são os coeficientes que determinam a amplitude de cada modo.

Passo 5

Dado que o deslocamento inicial u(x, 0) = 0, não há contribuição dos modos no deslocamento inicial, apenas na velocidade. A condição de velocidade inicial nos dá diretamente os coeficientes An. Comparando com a expressão para ut(x, 0), vemos que cada termo de g(x) corresponde a um modo da vibração:
g(x) = 5 sin(3 pi xL) - 2 sin(5 pi xL)
Isso significa que temos dois modos: um com n=3 e outro com n=5, com amplitudes A3 = 5 e A5 = -2.

Passo 6

Finalmente, substituímos esses valores na expressão geral da solução:
u(x, t) = 5 sin(3 pi xL) sin(3 pi tL) - 2 sin(5 pi xL) sin(5 pi tL)

Resposta

A função que descreve o movimento da corda é:
u(x, t) = 5 sin(3 pi xL) sin(3 pi tL) - 2 sin(5 pi xL) sin(5 pi tL)

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